Материал по математике "Математическая культура и эстетика"

Огромное значение математики в современном обществе, в деятельности людей самых различных специальностей признают все. Однако - интерес к математике - удел немногих. Разумеется, он может проявляться не только у тех, для кого математика является профессией - настоящей или будущей; среди интересующихся математикой немало любителей, которые занимаются ею лишь в свободное время. Всех их - профессионалов и любителей - роднит то, что они не только признают ее пользу и значение, но также имеют вкус к математике, умеют видеть красоту и изящество ее задач, теорем, методов.

В чем же состоит красота математики? Почему одно решение задачи оставляет нас лишь спокойно удовлетворенными, тогда как другое вызывает эмоциональный подъем, поражает смелостью замысла и изяществом? Мне приходилось слышать мнение о том, что красота математики - в ее связи с материальным миром, в ее практической ценности, логической строгости и других характерных чертах этой науки. С этим трудно согласиться: хотя эти характерные черты очень существенны, но они присущи как тому рассуждению, которое поразило нас своим изяществом, так и тому, которое не вызвало эмоционального всплеска.

Красивое решение должно нас чем-то удивить, должно быть в чем-то неожиданным. Однако одной необычностью красоту математического рассуждения не объяснить. Если ученик не заметил стандартного подхода к задаче и - совершенно неожиданно для всех - стал вымучивать решение длинным, окольным путем, то это вызывает только раздражение. Если, рассказывая о построении треугольника по длинам его сторон, ученик взял отрезки 12 см, 14 см, 15 см, то, можно лишь недоумевать, зачем ему понадобился такой необычно вытянутый треугольник, но никакого ощущения красоты не возникает.

Для того чтобы понять, что еще, помимо необычности, должно характеризовать математическое рассуждение, которое производит впечатление красивого, элегантного, обратимся к понятию наглядности. Именно оно даст нам ключ к выявлению сущности математической эстетики.

Две основные характерные черты наглядности, две ее составные части - это изоморфизм и простота. Если мы хотим понять некоторое явление, яснее представить его составные части, их взаимосвязь и взаимодействие, то мы прибегаем к наглядной модели изучаемого явления. Наглядная модель должна правильно отражать те основные черты явления, которые подлежат изучению. В самом деле, если бы они были представлены искаженно, то нельзя было бы говорить о модели изучаемого явления. Математически правильное, неискаженное отражение основных свойств явления описывается понятием изоморфизма.

Но даже если модель изоморфна изучаемому явлению, этого еще недостаточно, чтобы мы могли назвать ее наглядной моделью. Чтобы быть наглядной, помочь понять явление, сделать о нем некоторые выводы, модель должна быть простой для восприятия. С помощью такой модели необходимые выводы сделать проще, чем при непосредственном рассмотрении самого изучаемого явления

При применении наглядности мы осуществляем перевод-с языка сложного явления на более простой язык наглядной модели. В результате мы получаем с помощью модели определенные выводы об интересующем нас явлении. Мне нередко приходилось в классе, на занятиях математических кружков, на семинарах наблюдать такую картину. Учащиеся, каждый самостоятельно, пытаются решить трудную задачу, но она долго не поддается их усилиям. Вдруг кто-то находит выход из положения и идет к доске, чтобы рассказать о нём. Но вместо того чтобы непосредственно приступить к решению предложенной задачи, он неожиданно упоминает теорему, казалось бы, никакого отношения к задаче не имеющую, очень далёкую от неё - настолько далёкую, что никому и в голову не пришло вспомнить о ней. И учащиеся с удивлением замечают, что применение этой теоремы позволяет получить иную версию предложенной задачи, как бы новую модель, причем более наглядную. Простое заключительное рассуждение – и под возгласы «Как красиво!» - решение завершено.

Красоту решения задачи мы ощущаем в том случае, когда оно получено с помощью наглядной модели, причем модели неожиданной, скрытой от непосредственного мысленного взора, трудноуловимой. Красота математического рассуждения складывается из наглядности и неожиданности, поэтому можно написать следующую «формулу математической эстетики»:

Красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность

Эта формула, несомненно, связана с математической культурой. Человек, который такой культурой обладает, быстрее и легче решает задачи, даже трудные, причем предлагаемые им решения чаще, чем у других, бывают необычными, красивыми. Математическая культура предлагает наличие большого кругозора, умение по малейшим незаметным признакам находить аналогию с другими областями математики находить разные модели задачи, и том числе более простые, более наглядные.

Разумеется, нужно уметь читать, преодолевать технические трудности, знать формулы и уметь их применять. Но всё это не может ни в какой степени заменить решение задач, которые заставляют думать, сопоставлять различные методы, искать иные формулировки, находить связи с другими разделами математики. Именно такие задачи и красота их решений воспитывают хороший вкус и математическую культуру.

Весь материал – смотрите документ.

Математическая культура и эстетика

Огромное значение математики в современном обществе, в деятельности людей самых различных специальностей признают все. Однако - интерес к математике - удел немногих. Разу­меется, он может проявляться не только у тех, для кого математика является профессией - настоящей или будущей; среди интересующихся математикой немало любителей, которые занимаются ею лишь в свободное время. Всех их - профессионалов и любителей - род­нит то, что они не только признают ее пользу и значе­нне, но также имеют вкус к математике, умеют видеть красоту и изящество ее задач, теорем, методов.

В чем же состоит красота математики? Почему одно решение задачи оставляет нас лишь спокойно удовлет­воренными, тогда как другое вызывает эмоциональный подъем, поражает смелостью замысла и изяществом? Мне приходилось слышать мнение о том, что красота математики - в ее связи с материальным миром, в ее практической ценности, логической строгости и других характерных чертах этой науки. С этим трудно согла­ситься: хотя эти характерные черты очень существенны, но они присущи как тому рассуждению, которое пора­зило нас своим изяществом, так и тому, которое не вызвало эмоционального всплеска.

Красивое решение должно нас чем-то удивить, долж­но быть в чем-то неожиданным. Однако одной необыч­ностью красоту математического рассуждения не объ­яснить. Если ученик не заметил стандартного подхода к задаче и - совершенно неожиданно для всех - стал вымучивать решение длинным, окольным путем, то это вызывает только раздражение. Если, рассказывая о по­строении треугольника по длинам его сторон, ученик взял отрезки 12 см, 14 см, 15 см, то, можно лишь не­доумевать, зачем ему понадобился такой необычно вы­тянутый треугольник, но никакого ощущения красоты не возникает.

Для того чтобы понять, что еще, помимо необычности, должно характеризовать математическое рассуждение, которое производит впечатление красивого, элегантного, обратимся к понятию наглядности. Именно оно даст нам ключ к выявлению сущности математической эсте­тики.

Две основные характерные черты наглядности, две ее составные части - это изоморфизм и простота. Если мы хотим понять некоторое явление, яснее представить его составные части, их взаимосвязь и взаимодействие, то мы прибегаем к наглядной модели изучаемо­го явления. Наглядная модель должна правильно от­ражать те основные черты явления, которые подлежат изучению. В самом деле, если бы они были представле­ны искаженно, то нельзя было бы говорить о модели изучаемого явления. Математически правильное, неис­каженное отражение основных свойств явления описы­вается понятием изоморфизма.

Но даже если модель изоморфна изучаемому явле­нию, этого еще недостаточно, чтобы мы могли назвать ее наглядной моделью. Чтобы быть наглядной, помочь понять явление, сделать о нем некоторые выводы, мо­дель должна быть простой для восприятия. С помощью такой модели необходи­мые выводы сделать проще, чем при непосредственном рассмотрении самого изучаемого явления

При применении наглядности мы осуществляем перевод-с языка сложного явления на более простой язык наглядной модели. В результате мы получаем с помощью модели определенные выводы об интересующем нас явлении. Мне нередко приходилось в классе, на занятиях математических кружков, на семинарах наблюдать такую картину. Учащиеся, каждый самостоятельно, пытаются решить трудную задачу, но она долго не поддается их усилиям. Вдруг кто-то находит выход из положения и идет к доске, чтобы рассказать о нём. Но вместо того чтобы непосредственно приступить к решению предложенной задачи, он неожиданно упоминает теорему, казалось бы, никакого отношения к задаче не имеющую, очень далёкую от неё - настолько далёкую, что никому и в голову не пришло вспомнить о ней. И учащиеся с удивлением замечают, что применение этой теоремы позволяет получить иную версию предложенной задачи, как бы новую модель, причем более наглядную. Простое заключительное рассуждение – и под возгласы «Как красиво!» - решение завершено.

Красоту решения задачи мы ощущаем в том случае, когда оно получено с помощью наглядной модели, причем модели неожиданной, скрытой от непосредственного мысленного взора, трудноуловимой. Красота математического рассуждения складывается из наглядности и неожиданности, поэтому можно написать следующую «формулу математической эстетики»:

Красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность

Эта формула, несомненно, связана с математической культурой. Человек, который такой культурой обладает, быстрее и легче решает задачи, даже трудные, причем предлагаемые им решения чаще, чем у других, бывают необычными, красивыми. Математическая культура предлагает наличие большого кругозора, умение по малейшим незаметным признакам находить аналогию с другими областями математики находить разные модели задачи, и том числе более простые, более наглядные.

Разумеется, нужно уметь читать, преодолевать технические трудности, знать формулы и уметь их применять. Но всё это не может ни в какой степени заменить решение задач, которые заставляют думать, сопоставлять различные методы, искать иные формулировки, находить связи с другими разделами математики. Именно такие задачи и красота их решений воспитывают хороший вкус и математическую культуру.