Системы счисления.
Системой счисления называется способ записи (кодирования) чисел.
Все системы счисления можно разделить на две группы: позиционные и непозиционные.
Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа.
Пример: арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся.
Если взять два числа 102 и 21, то цифра 1 в первом числе в 100 раз "тяжелее" той же цифры во втором числе. А вот цифра 2 в первом числе в 10 раз "легче" этой же цифры во втором числе.
Если же величина цифры не зависит от места, занимаемого этой цифрой, то такая система счисления называется непозиционной .
Непозиционные системы счисления первичны по своему происхождению; но поскольку они имеют ряд недостатков по сравнению с позиционными системами счисления, то постепенно они потеряли свое значение.
Алфавит Римской системы
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Числа в римской системе счисления записываются по определенным правилам:
1) если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются,
например: VI=6;
2) если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может,
например: XL=40, XXL-нельзя;
3) цифры M,C,X,I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;
4) цифры D,L,V могут использоваться в записи числа только по одному разу.
Например число 1996 будет записано в римской система счисления как MCMXCVI.
Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число 3999 MMMCMXCIX.
Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить еще новые обозначения.
А теперь попробуйте выполнить простую арифметическую операцию, не переводя числа в привычную систему счисления:
умножить число CLVI на число LXXIV. Вряд ли вам это удастся.
Н едостатки непозиционных систем счисления:
а) нельзя записывать сколь угодно большие числа;
б) запись чисел обычно громоздка и неудобна;
в) математические операции над числами крайне затруднены.
Именно поэтому, хотя римская и очень "красивая" система счисления, она не получила широкого распространения.
Вопросы и упражнения.
1. Что такое система счисления ?
2. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной ?
3. Во сколько раз цифра 5 "тяжелее" в первом числе по сравнению с этой же цифрой второго числа:
15243 и 750 ?
4. Во сколько раз первая цифра 3, встречающаяся в числе "тяжелее" второй такой же цифры
а) 33765 ; б) 37653 ?
Вопросы и упражнения.
5. Почему двоичная система счисления получила широкое распространение?
6. Почему непозиционные системы счисления потеряли свое значение ?
7. Приведите примеры, где римские цифры используются в наше время.
8. Перемножьте числа 23 и 17 . Запишите все три числа в римской системе счисления.
системы счисления
основание
П о з и ц и о н н ы е
двоичная
алфавит
десятичная
восьмеричная
ш естнадцате - ричная
Н е п о з и ц и о н н ы е
Римская
Числа в разных системах счисления:
n = 10
1
n=2
2
n=3
3
n=5
4
n=8
5
n = 16
6
7
8
9
10
Перевод из десятичной системы в двоичную
Принцип : делить число на 2 и собирать остатки от деления в обратном порядке .
Показать на примерах
Что больше 1 или 9? (Понятно что 9). Но в числе 13509 важнее играет роль 1. И это всем понятно так как мы привыкли с начальной школы читать это число следующим образом: начиная слева цифру умножаем на соответствующий разряд в котором она находится складываем со следующей цифрой, умноженной на свой соответствующий разряд и т.л., пока не дойдем до последней цифры.
10000 1000 100 10 1 - разряды
1 3 5 0 9 =
= 1*10000 + 3*1000 + 5*100 + 9*1 =
= 1*10 4 + 3*10 3 + 5*10 1 + 9*10 0
Можно рассматривать системы счисления и с другими основаниями. Если р - основание системы счисления, то любое число N в этой системе счисления может быть представлено в виде
N =а ( n ) *р ^n + a(n-1)*p^(n-1) + ... + a(1)*p + a(0) , где коэффициенты - цифры р-ичной системы счисления.
Перевод чисел в десятичную СС из других СС осуществляется с помощью записи их в виде суммы степеней основания :
N =а ( n ) *р n + a(n-1)*p (n-1) + ... + a(1)*p + a(0) ,
где р - основание системы счисления, коэффициенты - цифры р-ичной системы счисления.
Показать принцип на примерах
пример: переведем число 542 из 8-ричной в десятичную СС.
Для этого представим число 542 в виде суммы степеней основания 8:
542 8 = 5*8 2 + 4*8 1 + 2*8 0 .
Теперь произведем вычисления:
5*8 2 + 4*8 1 + 2*8 0 = 5*64 + 4*8 +2*1= 320 + 32 +2 = 354 10 .
Таким образом, 542 8 = 354 10 .
Еще примеры:
3 В 9 16 = 3*16 2 + 11*16 1 + 9*16 0 =
= 3*256 + 11*16 + 9*1 = 953 10 .
110101 = 1*2 5 + 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 +1*0 1 + 1*2 0 =
= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 +1 = 53 10 .
Самостоятельная работа:
Перевести в двоичную систему :
36 10 , 255 10 , 345 10 , 502 10 .
Перевести в десятичную систему : 1000011 2 , 11100111 2 , 100001010 2 .