Урок по математике и информатике "Численные методы математического программирования. Нахождение приближенного значения площади криволинейной трапеции"

Потребность в приближенном вычислении площади криволинейной трапеции может возникнуть тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения площади фигуры, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Излагаемые приближенные численные методы основаны на следующем: рассматривая интегральные суммы для вычисления площади криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение.

Существуют для этого случая два правила численного интегрирования: правило прямоугольников и правило трапеций.

Постановка задачи

Перед учащимися 11-го класса поставлена учебная задача: найти площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=1/6(x+2)²+2 и отрезком [-6;3,5] оси Ox  и  вертикальными прямыми x=- 6, x=3,5, используя ранее полученные знания по теме «Площадь». 

Проведя исследовательскую работу, учащиеся предложили следующие варианты решения этой проблемы:

Использование инструмента для измерения площадей плоских фигур – палетку.

Использование теоретических знаний по теме «Свойства площадей» и известных формул.

Использование формулы Пика: S=a+b/2-1 , подсчета числа узлов внутри многоугольника (a)и числа узлов на границе, включая вершины (b).

Обсудив полученные результаты, пришли к выводу, что использование известных учащимся методов, привело к результату, точность которого недостаточно высока.

Правило прямоугольников

Разделим интервал интегрирования [a, b] на  n  равных частей (шагов)  и заменим данную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из n прямоугольников, опирающиеся на величину h=(b-a)/n , которую назовем шагом, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции y=f(x) в начальных (рис. 1) или конечных (рис.2) точках величины h .

Весь материал - в документе.

Численные методы математического программирования.

Нахождение приближенного значения площади криволинейной трапеции. Понятие интегрирования.

Потребность в приближенном вычислении площади криволинейной трапеции может возникнуть тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения площади фигуры, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Излагаемые приближенные численные методы основаны на следующем: рассматривая интегральные суммы для вычисления площади криволинейной трапеции, мы получим ее приближенное значение.

Существуют для этого случая два правила численного интегрирования: правило прямоугольников и правило трапеций.

Постановка задачи

Перед учащимися 11-го класса поставлена учебная задача: найти площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , отрезком [- 6; 3,5] оси Ox и вертикальными прямыми x=- 6, x=3,5, используя ранее полученные знания по теме «Площадь».

Проведя исследовательскую работу, учащиеся предложили следующие варианты решения этой проблемы:

• Использование инструмента для измерения площадей плоских фигур – палетку.

• Использование теоретических знаний по теме «Свойства площадей» и известных формул.

• Использование формулы Пика: , подсчета числа узлов внутри многоугольника (a)и числа узлов на границе, включая вершины (b).

Обсудив полученные результаты, пришли к выводу, что использование известных учащимся методов, привело к результату, точность которого недостаточно высока.

Правило прямоугольников

Разделим интервал интегрирования [a, b] на n равных частей (шагов) и заменим данную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из n прямоугольников, опирающиеся на величину , которую назовем шагом, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции в начальных (рис. 1) или конечных (рис.2) точках величины .

h

a=x₀

b=x_n

Рис. 2

Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла . Результат будет тем более точен, чем больше взято число шагов.

Если обозначить значения функции в точках деления через y₀, y₁,…,y_n, то есть положить y_k=f(x_k), x_k=a+kh, где , а k принимает значение 0,1,2,…,n, то, очевидно, будем иметь следующие формулы:

(1)

(2)

Эти формулы и называются формулами прямоугольников.

Для того, чтобы получить более точное значение определенного интеграла, необходимо найти среднее арифметическое площадей с недостатком (1) и с избытком (2).

Применение вычислительной техники значительно облегчит и убыстрит процесс вычисления по формулам прямоугольников, так как возможно выбрать минимально возможную величину шага – верхняя часть прямоугольников будет практически совпадать с линией криволинейной трапеции, причем значение шага можно менять. Вычисление значений функции в точках x₀, x₁,…,x_n вычисляются циклически.

Пример: Найти

Предлагаемая программа вычисления:

Program PRIMOUGOLNIKI;

uses CRT;

Var {раздел описания переменных}

a,b,h,s1,s2,s,i:real;

Begin

ClrScr;

Writeln(‘введи значение нижнего предела интегрирования a’);

Readln(a);

Writeln(‘введи значение верхнего предела интегрирования b’);

Readln(b);

Writeln(‘введи значение шага h’);

Readln(h);

s1:=0; {находим площадь прямоугольников с недостатком}

i:=a;

While i

Begin

s1:=s1+(1/sqrt(2*i*i+0.3))*h;

i:=i+h;

End;

s2:=0; {находим площадь прямоугольников с избытком}

i:=a+h;

While i

Begin

s2:=s2+(1/sqrt(2*i*i+0.3))*h;

i:=i+h;

End;

s:=(s1+s2)/2;

Writeln(‘площади прямоугольников с недостатком и с избытком ’, s1:12:6,' ',s2:12:6);

Writeln(‘приближенное значение определенного интеграла’, s:12:6);

Readln;

End.

Правило трапеций

Оставим разбиение интервала [a, b] прежним, но заменим теперь каждую дугу линии , соответствующую шагу, хордой, соединяющей конечные точки этой дуги. Таким образом, заменяем данную криволинейную трапецию n прямоугольными трапециями (рис. 3).

Геометрически очевидно, что площадь такой фигуры более точно выражает искомую площадь, чем площадь n-ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Сумма площадей прямоугольных трапеций, построенных на величине h (шаге), равна:

(3)

Эта формула и носит название формулы трапеций.

Если функция монотонна, то этот метод дает значение интеграла более точное, чем формулы прямоугольников.

Убедимся в этом, составив программу вычисления того же интеграла.

Пример: Найти

Program TRAPECII;

Uses CRT;

Var {раздел описания переменных}

a,b,h,s,i:real;

Begin

ClrScr;

Writeln(‘введи значение нижнего предела интегрирования a’);

Readln(a);

Writeln(‘введи значение верхнего предела интегрирования b’);

Readln(b);

Writeln(‘введи значение шага h’);

Readln(h);

s:=(1/sqrt(2*sqr(a)+0.3)+1/sqrt(2*sqr(b)+0.3))/2; {начальное значение суммы}

i:=a+h;

while i

begin

s:=s+1/sqrt(2*sqr(i)+0.3);

i:=i+h;

end;

s:=s*h;

Writeln(‘приблизительное значение определенного интеграла’, s:12:6);

Readln;

End.

Оценим полученные значения площадей, сравнив результаты вычислений, полученные при различном количестве разбиений, и убедимся, что при увеличении количества разбиений результат более точный.

В 11 классе после изучения темы «Определенный интеграл» вычислим точное значение площади следующим образом:

Интересно, что интегральное исчисление исторически возникло из необходимости решать задачи на определение площадей фигур и объемов тел. Корни этого метода уходят в III век до н.э.. Лучшие достижения древности в этой области принадлежат Архимеду. Приемы интегрального исчисления сейчас применяются в физике для вычисления работы, в экономике для вычисления объема произведенной продукции.

Самостоятельная работа по теме

Оцените результаты работы обеих программ с точки зрения точности и времени вычисления, произведя вычисления и заполнив таблицу:

Самостоятельно и по вариантам написать программы, отладить и вычислить значения интегралов двумя методами.

Заключение: Рассмотрев предложенную задачу, убедились, что данный метод позволяет с достаточной точностью рассчитать площадь криволинейной трапеции, основываясь на знании формул математики и основ программирования.