Задачи к зачету по геометрии «Параллельность прямых и плоскостей»

При проведении зачетов подборка задач по теме занимает много времени.

Цель моей  работы помочь учителю сократить время подготовки к зачету. 

Имея под рукой ответы на задачи можно на уроке успеть проверить работы учеников или это  доверить консультантам.

Задачи подобраны по трем уровням сложности. Так же приведены дополнительные задачи с ответами.

I уровень

I вариант.

1. Треугольник АВС и квадрат AEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М середины отрезков АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что КМ II ЕF; б) Найдите КМ, если АЕ = 8см.
2. В ∆АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что ВD:ВА = 1:3. Плоскость параллельная прямой АС и проходящая через точку D, пересекает отрезок ВС в точке D₁. а) Докажите, что ∆ DВD₁ ~ ∆ АВС; б) Найдите АС, если DD₁= 4см.
3. Построить сечение куба АBCDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через точки К ϵ А₁В₁, N ϵ С₁В₁, M ϵ ВВ_1.

II вариант.

Квадрат АВСD и трапеция КМNL не лежат в одной плоскости. Точки А и D - середины отрезков КМ и NL соответственно.

а) Докажите, что КL II ВС; б) Найдите ВС, если КL = 10см, МN=12см.

Точка D лежит на отрезке АB, причем ВD:ВА = 1:4. Через точку А проведена плоскость α, через точку D - отрезок DD₁ , параллельный α. Прямая ВD_1, пересекает плоскость α в точке С.

а) Докажите, что ∆ DВD₁ ~ ∆ АВС; б) Найдите DD₁, если АС = 12см.

Построить сечение куба АBCDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через данные точки А, C, D₁, являющиеся вершинами куба_.

II уровень

I вариант.

На стороне АD параллелограмма АBCD выбрана точка А₁ так, что DА₁ = 4см. Плоскость, параллельная диагонали АC, проходит через точку А₁ и пересекает сторону СD в точке С₁. а) Докажите, что ∆ С₁D А₁ ~ ∆ АВС; б) Найдите АС, если BС = 10см, А₁С₁= 6см.

Точка А не лежат в плоскости треугольника BCD. Точки P, R, S , T - середины отрезков АB, АD, CD и BC соответственно. а) Докажите, что PR ST - параллелограмм; б) Найдите АC, если BD = 6см, а периметр PRST равен 14см.

Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, если на ребрах AB, BD и CD отмечены точки M, N, P.

Весь материал - смотрите документ.

Разноуровневые задачи с ответами к зачету по геометрии по теме

«Параллельность прямых и плоскостей.»

I уровень

I вариант.

1. Треугольник АВС и квадрат AEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М середины отрезков АВ и ВС соответственно. а) Докажите, что КМ II ЕF; б) Найдите КМ, если АЕ = 8см.

1. В ∆АВС на стороне АВ выбрана точка D, такая, что ВD:ВА = 1:3.Плоскость параллельная прямой АС и проходящая через точку D, пересекает отрезок ВС в точке D₁. а) Докажите, что ∆ DВD₁ ~ ∆ АВС; б) Найдите АС, если DD₁= 4см.

1. Построить сечение куба АBCDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через точки К ϵ А₁В₁, N ϵ С₁В₁, M ϵ ВВ_1.

II вариант.

1. Квадрат АВСD и трапеция КМNL не лежат в одной плоскости. Точки А и D- середины отрезков КМ и NL соответственно. а) Докажите, что КL II ВС; б) Найдите ВС, если КL = 10см, МN=12см.

1. Точка D лежит на отрезке АB, причем ВD:ВА = 1:4. Через точку А проведена плоскость α, через точку D - отрезок DD₁ , параллельный α. Прямая ВD_1, пересекает плоскость α в точке С.

а) Докажите, что ∆ DВD₁ ~ ∆ АВС; б) Найдите DD₁, если АС = 12см.

1. Построить сечение куба АBCDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через данные точки А, C, D₁, являющиеся вершинами куба_.

II уровень

I вариант.

1. На стороне АD параллелограмма АBCD выбрана точка А₁ так, что DА₁ = 4см. Плоскость, параллельная диагонали АC, проходит через точку А₁ и пересекает сторону СD в точке С₁. а) Докажите, что ∆ С₁D А₁ ~ ∆ АВС; б) Найдите АС, если BС = 10см, А₁С₁= 6см.

1. Точка А не лежат в плоскости треугольника BCD. Точки P, R, S , T- середины отрезков АB, АD, CD и BC соответственно. а) Докажите, что PR ST - параллелограмм; б) Найдите АC, если BD = 6см, а периметр PRST равен 14см.

1. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, если на ребрах AB, BD и CD отмечены точки M, N, P.

II вариант.

1. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Точки Е,F, М , К- середины отрезков АB, BC,CD и АD соответственно. а) Докажите, что ЕFМК- параллелограмм; б) Найдите периметр ЕFМК, если АC = 6см, BD=8см.

1. На стороне BC параллелограмма АBCD выбрана точка C₁ так, что C₁B = 3см. Плоскость, параллельная диагонали АC, проходит через точку C₁ и пересекает сторону AB в точке A₁. а) Докажите, что ∆ АDC ~ ∆ С₁ВА₁; б) Найдите АD, если A₁С₁ = 4см, АС= 12см.

1. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через данные точки M, N, К, являющиеся серединами ребер AB, BC, CD .

III уровень

I вариант.

1. Точка М, лежащая вне плоскости ∆АВК, соединена с его вершинами. D и E - точки пересечения медиан треугольников МАB и МBК соответственно. а) Докажите, что АDЕК- трапеция; б) Найдите DЕ, если АК = 14см.

1. Точка М не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что МЕ: ЕА = 2:3. а) Постройте точку F - точку пересечения прямой МВ с плоскостью СDЕ; б) Найдите АВ, если ЕF=10см.

1. Построить сечение куба АBCDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через данные точки Кϵ А₁D₁, Е ϵ СС₁, М ϵ АВ, являющиеся серединами ребер.

II вариант.

1. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. К и М - точки пересечения медиан треугольников АDB и DBC соответственно. а) Докажите, что КМ II АC; б) Найдите АC, если КМ = 6см.

1. Точка М не лежит в плоскости ромба АВСD. На отрезке ВМ выбрана точка F так, что МF: FВ = 1:3. а) Постройте точку К- точку пересечения прямой МС с плоскостью АFD; б) Найдите FК, если АD=16см.

1. Построить сечение куба АBCDА₁В₁С₁D₁ плоскостью, проходящей через данные точки Кϵ СС₁, Е ϵ АА₁, являющиеся серединами ребер и вершину D₁.

Ответы на задачи.

I уровень

I вариант.

1. 4см

2.12см

3.

II вариант.

1. 8см

2.3см

3.

II уровень

I вариант.

1. 15см

2. 8см

3.

II вариант.

1. 14см

3.9см

3.

III уровень

I вариант.

1. 4 см

2.см

3.

П вариант.

1. 18см 2. см 3.

Дополнительные задачи.

I уровень

1. Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в точках А₁, В₁, С₁. Вычислите длину отрезка СС₁, если АА₁=5, ВВ₁=7.

II уровень

1. Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А₁ и М₁. а) Докажите, что А₁ , М₁ и В лежат на одной прямой; б) Найдите длину отрезка АВ, если АА₁: М М₁ = 3:2, АМ = 6см.

1. Дан ∆МКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М₁, РК в точке К₁. Найдите М₁К₁, если МР:М₁Р = 12:5, МК =18см.

1. Дан ∆ВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает ВЕ в точке Е₁, а ВС в точке С₁. Найдите ВС₁, если С₁Е₁: СЕ = 3:8, ВС =28см

III уровень

1. Точка М, лежащая вне плоскости ∆АВС, соединена с его вершинами. D и Е - точки пересечения медиан треугольников МАB и МBC соответственно. а) Докажите, что АDЕC-трапеция; б) Найдите DЕ, если АС=12см.

Ответы на дополнительные задачи.

I уровень

1. 6см

II уровень

1. 12см 2. 7,5см 3. 10,5см

III уровень

4см