Элективный курс по математике "В мире комплексных чисел"

Пояснительная записка

Программа элективного курса «В мире комплексных чисел» предусматривает углубленное изучение теории чисел и предназначена для  учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний. Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались невыполненными на этом множестве операции извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел в отличие от действительных.

Такие числа были названы комплексными, имеющие вид а+bi, где а и b есть действительные числа. Отказываться изучать выражения данного вида лишь потому, что символ i не есть действительное число, означало бы допустить очень большое торможение в развитии алгебры, развитии её методов, многие алгебраические действия остались бы невыполненными. Например, нельзя было бы выполнить действие извлечения корня 6-й степени из отрицательного числа. Учение о числах вида а+bi  и теории, развитые на основе этого учения, оказались мощным средством, позволившим успешно решить крупнейшие теоретические и практические проблемы.

Например, знаменитый русский ученый Николай Егорович Жуковский блестяще использовал эти теории для расчета крыльев самолета. Эти теории с огромным успехом применяются в электротехнике, гидромеханике, аэромеханики, теории упругости и во многих других отделах естествознания и техники. Необходимость изучения данного курса также состоит том, что при решении упражнений на повторение в 11 классе по учебнику Ш.А.Алимова предлагается выполнить задания с комплексными числами, но теоретический материал в 10 – 11 классах по этой теме не рассматривается. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательства не вызовут трудности у уча­щихся, т.к. не содержат громоздких выкладок.

На изучение тем отводится 17 часов, из них 16 часов - на практическое решение задач, 1 час – на определение успешности усвоения материала в форме тестирования или зачета.

При изучении теории комплексных чисел применяются  опорные конспекты, предусмотрено использование интерактивной доски и индивидуальная работа учащихся по усвоению теории.

Цели курса:

- расширить кругозор  учащихся непосредственных связей школьной программы математики с наукой и ее приложениями;

- сформировать представление о теории комплексных чисел.

Задачи курса:

- познакомить учащихся с понятием комплексного числа; научить выполнять основные арифметические операции на множестве комплексных чисел;

- сформировать умение решать упражнения по данной теме;

- показать необходимость знаний данного курса в развитии математики и во многих отделах техники и естествознания;

- развивать интеллектуальные способности, логическое мышление;

- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения на практике, изучения смежных дисциплин ( физики), продолжения образования и сознательного выбора профессии;

- показать прикладную значимость математики.

Весь материал - в документе.

МБОУ «Новошешминская средняя общеобразовательная школа

Новошешминского муниципального района РТ»

Элективный курс

«В мире комплексных чисел»

Авторы:

1. Иванова Юлия Николаевна, учитель математики и информатики МБОУ «Новошешминская СОШ»,

2. Данилова Светлана Николаевна, учитель математики МБОУ «Новошешминская СОШ»,

3. Лазарева Ольга Ивановна, учитель математики МБОУ «Новошешминская СОШ».

Пояснительная записка

Программа элективного курса «В мире комплексных чисел» предусматривает углубленное изучение теории чисел и предназначена для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний. Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались невыполненными на этом множестве операции извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел в отличие от действительных. Такие числа были названы комплексными, имеющие вид а+bi, где а и b есть действительные числа. Отказываться изучать выражения данного вида лишь потому, что символ i не есть действительное число, означало бы допустить очень большое торможение в развитии алгебры, развитии её методов, многие алгебраические действия остались бы невыполненными. Например, нельзя было бы выполнить действие извлечения корня 6-й степени из отрицательного числа. Учение о числах вида а+bi и теории, развитые на основе этого учения, оказались мощным средством, позволившим успешно решить крупнейшие теоретические и практические проблемы. Например, знаменитый русский ученый Николай Егорович Жуковский блестяще использовал эти теории для расчета крыльев самолета. Эти теории с огромным успехом применяются в электротехнике, гидромеханике, аэромеханики, теории упругости и во многих других отделах естествознания и техники. Необходимость изучения данного курса также состоит том, что при решении упражнений на повторение в 11 классе по учебнику Ш.А.Алимова предлагается выполнить задания с комплексными числами, но теоретический материал в 10 – 11 классах по этой теме не рассматривается. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательства не вызовут трудности у уча­щихся, т.к. не содержат громоздких выкладок.
На изучение тем отводится 17 часов, из них 16 часов - на практическое решение задач, 1 час – на определение успешности усвоения материала в форме тестирования или зачета.

При изучении теории комплексных чисел применяются опорные конспекты, предусмотрено использование интерактивной доски и индивидуальная работа учащихся по усвоению теории.

Цели курса:

- расширить кругозор учащихся непосредственных связей школьной программы математики с наукой и ее приложениями;
- сформировать представление о теории комплексных чисел.

Задачи курса:
- познакомить учащихся с понятием комплексного числа; научить выполнять основные арифметические операции на множестве комплексных чисел;
- сформировать умение решать упражнения по данной теме;
- показать необходимость знаний данного курса в развитии математики и во многих отделах техники и естествознания;
- развивать интеллектуальные способности, логическое мышление;
- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения на практике, изучения смежных дисциплин ( физики), продолжения образования и сознательного выбора профессии;
- показать прикладную значимость математики.

В результате изучения курса учащиеся должны:

- понимать содержательный смысл теории комплексных чисел, как действенного инструмента при использовании математических методов в различных областях науки;

- при вычислении сочетать устные и письменные приемы, использовать приемы, рационализирующие вычисления.

Структура программы комплексных чисел является обучающей и содержит:

1. Пояснительную записку.

2. Цели курса.

3. Содержание курса.

4. Примерное тематическое планирование.

5. Требования к умениям и навыкам.

6. Методические рекомендации.

7. Литература

Учебно-тематический план

Тема 1 Вводный урок. Из истории возникновения комплексных чисел. Мнимая единица.

Содержание темы:

• Знать значение математического образования;

• Основные цели математического образования;

• Общие принципы школьного математического образования;

• Нормативная база школьного математического образования;

• Иметь ясное представление о множествах чисел;

• Уметь выполнять операции над числами.

• Исторический материал.

• Мнимая единица.

Тема 2 Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Содержание темы:

• Определение комплексных чисел.

• Мнимая единица.

• Мнимые числа.

• Алгебраическая форма комплексного числа.

• Действительная часть комплексного числа.

• Мнимая часть комплексного числа.

Тема 3 Сумма комплексных чисел

Содержание темы:

• Действительная часть комплексного числа.

• Мнимая часть комплексного числа.

• Сумма комплексных чисел.

Тема 4 Произведение комплексных чисел

Содержание темы:

• Произведение комплексных чисел.

• Умножение комплекского числа на мнимое число.

Тема 5 Сопряженные комплексные числа

Содержание темы:

• Определение сопряжённых чисел.

• Теоремы о сопряжённых комплексных числах. (4)

• Следствия из теорем о сопряжённых числах.

Тема 6 Разность комплексных чисел

Содержание темы:

• Разность комплексных чисел.

• Противоположные числа.

Тема 7 Частное комплексных чисел

Содержание темы:

• Частное комплексных чисел.

• Обратные числа.

Тема 8 Модуль и аргумент комплексного числа

Содержание темы:

• Понятие модуля комплексного числа и аргумента комплексного числа.

• Радиан, как единица измерения углов.

• Главное значение аргумента.

• Обозначение аргумента.

Тема 9 Геометрическая интерпретация комплексного числа

Содержание темы:

• Координаты комплексного числа.

• Радиус-векторы.

• Сумма векторов.

• Разность векторов.

• Комплексная плоскость.

Тема 10 Тригонометрическая форма комплексного числа

Содержание темы:

• Отличие тригонометрической формы от алгебраической.

• Преобразование алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую.

Тема 11 Свойства модуля и аргумента комплексного числа

Содержание темы:

• извлечение корня из комплексного числа.

• Показательная форма комплексного числа.

Тема 12 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Содержание темы:

• Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

• Возведение в степень.

• Формула Муавра.

Тема 13 Квадратное уравнение с комплексным неизвестным

Содержание темы:

• Общий вид квадратных уравнений.

• Формула дискриминанта квадратного уравнения.

• Формула корней квадратного уравнения.

• Общий вид квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

• Алгоритм решения квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

Требования к математической подготовке.

• учащиеся должны знать и правильно употреблять термины «комплексное число», «мнимая единица»;

• знать методы решения уравнений;

• знать основные теоремы и формулы;

• уметь решать алгебраические уравнения;

• проводить полные обоснования при решении задач.

Контроль и оценка ЗУН.

• Устный опрос по конспекту

• Парный и групповой взаимоконтроль.

• Самоконтроль.

• Тестирование.

• Творческие работы учащихся.

Возможные критерии оценок:

«хорошо/отлично» - учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; продемонстрировал умение работать самостоятельно.

«зачет» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, успешно выполнял простые задания.

Литература для учащихся

1. Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2001.

2. С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2007.

3. Научно- практический журнал «Математика для школьников» №1 2006г.

Литература

1. М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике . – М.: Наука ,1986.

2. Н. Ш. Кремер, Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити, 2001.

3. Учебно- методическая газета «Математика», №2 2007, №16 2006.