Окружность и ее элементы

Традиционно учащиеся испытывают трудности при решении геометрических задач, связанных с окружностью. Данный материал может быть использован для подготовки учащихся 9 классов к ГИА по математике. 

Рассмотрены следующие свойства:

1) связь касательной к окружности и радиуса, проведенного в точку касания.

2) связь вписанного угла окружности и дуги, на которую он опирается

3) свойства вписанных в окружность четырехугольников и четырехугольников, описанных около окружности.

4)  свойство пересекающихся хорд окружности.

5) свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Если дуга АВ  окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной  градусной мере центрального угла АОВ.

Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее  градусная мера считается равной 360°.

Решение задач ГИА-9 по математике по теме «Окружность и ее элементы»

Старший преподаватель ГАОУ ДПО ИРОСТ

Парахин И.Г.

г. Курган

Задания части 1.

• Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания.

АВ  ОВ

О

А

В

• Соединим точки О и В.
• ОВ – радиус окружности.
• Найдем ОВ.
• ∆ АОВ – прямоугольный.
• По теореме Пифагора
• ОВ 2 =АО 2 -АВ 2 .

ОВ 2 =13 2 -12 2 =169-144=25.

ОВ=5 см.

5

• Вписанный угол —  угол , вершина которого лежит на  окружности , а обе стороны пересекают эту окружность.

Вписанный угол , опирающийся на диаметр, - прямой

 KMN,  NKM,  MNK -вписанные.

 NKM - прямой

 ВАС-вписанный

 DEF -вписанный

• Центральный  угол — угол с вершиной в центре окружности.

 АОВ - центральный

Дуга окружности

• Дугу окружности можно измерять в градусах.
• Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.
• Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной

360° -  АОВ

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

А

Пример:

Пусть  ВАС=32  .

Найдите  ВОС.

 ВОС=2∙  ВАС=64  .

О

С

В

•  СОВ и  АОВ – смежные, тогда  АОВ=180  -112  =68  .
• Вписанному углу АСВ соответствует центральный угол АОВ, тогда
•  АСВ=  АОВ:2.
•  АСВ=68  :2=34  .

112 

68 

3

4

• 9х+11х=360 
• 20х=360 
• х=360  :20
• х=18 
•  АОВ=9х=9∙18  =162 

9х

11х

1

6

2

• По условию
•  КО=112°,  ОМ=170°.
• Тогда  КМ=360°-  КО-  ОМ.
•  КМ=360°-112°-170°=78°.
• С-центр окружности,
•  КСМ=  КМ=78°.
•  КСМ – центральный.
•  КОМ – вписанный, соответствующий углу КСМ.
•  КОМ=78°:2=39°.

78 

С

3

9

• Свойство описанного четырехугольника:
• В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

B

A

AD+BC=AB+CD

D

C

• Пусть AD:AB:BC=1:5:9.

AD=x, AB=5x, BC=9x.

AD+BC=AB+CD

x+9x=5x+CD

CD=5x

P=AD+BC+AB+CD

20=x+9x+5x+5x

x=1

BC=9x=9

B

5x

A

x

9x

D

5x

C

9

• ABCD- четырехугольник, вписанный в окружность
• АС и BD - диагонали

Свойства:

• Сумма противоположных углов

равна 180 

 A+  C=180  ,  B+  D=180 

2)  DAC=  DBC

3)  ADB=  ACB

•  DAC=  DBC=35 
•  ABC=  ABD+  DBC
•  ABC= 19  +35  =54 

19 

35 

35 

5

4

Если две хорды окружности пересекаются то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

• AC и BD – хорды окружности.
• М – точка пересечения этих хорд.

AM•MC=BM•MD

B

A

C

M

D

• AM•MC=BM•MD
• AM•2=6•3
• 2•AM=18
• AM=9

9

Задания части 2

• АО – радиус окружности.
•  AOD=100  .
•  АОС и  AOD – смежные.
•  АОС=180  -100  =80  .
• АС  АО, значит,  ОАС=90  .
•  ACO=180  -  АОС -  ОАС.
•  ACO=180  -80  -90  .
•  ACO=10  .

100 

80 

Ответ: 10 

• ОА и ОВ – радиусы.
• Вписанному углу АКВ соответствует центральный угол АОВ.
• Тогда  АОВ=2∙  АКВ=90  .
• ∆ АОВ - прямоугольный с гипотенузой АВ.
• АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 =4 2 +4 2 .
• АВ 2 =32.

45 

• Треугольники АВ 1 О 1 и АВО – прямоугольные.
• По теореме Пифагора АО 1 2 =АВ 1 2 +В 1 О 1 2 =4 2 +3 2 =25, АО 1 =5.
• ∆ АВ 1 О 1 ~∆АВО по 2 признаку (  АВ 1 О 1 =  АВО=90  ,  А - общий), тогда

5

4

3

5

А

• Проведем из точки А касательные к окружности.
• В и С – точки касания.
• АВ=АС

В

С

• Проведем через точку А касательную к окружностям,
• D – точка пересечения касательной и прямой ВС .
• AD=BD и AD=DC (как отрезки касательных).
• BD=DC  AD – медиана в ∆АВС
• С другой стороны.

D

∆ АВС –прямоугольный, так как медиана AD в два раза меньше стороны, к которой она проведена.

 ВАС=90  .

Используемые источники:

• http://alexlarin.net/
• сдамгиа.рф