Возрастание и убывание функций. Экстремумы

График функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10].

Определение. Функция f возрастает на множестве P, если для любых x₁ и x₂ из множества P, таких, что  x₂  >  x₁ , выполнено неравенство f(x₂)  >  f(x₁).

Определение. Функция f убывает на множестве P, если для любых x₁ и x₂ из множества P, таких, что х₂  >  x₁, выполнено неравенство f(x₂)  <  f(x₁).

Иначе говоря, функция f называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

16.10

Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Автор: Спирина Ирина Марксовна, учитель математики, I категории.

МКОУ «Яланская СОШ»

График функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10].

у

у=х 2

х

0

x 1 , выполнено неравенство f(x 2 ) f(x 1 ). " width="640"

Определение. Функция f возрастает

на множестве P, если для любых x 1 и x 2

из множества P, таких, что x 2 x 1 ,

выполнено неравенство f(x 2 ) f(x 1 ).

x 1 , выполнено неравенство f(x 2 ) 1 ). " width="640"

Определение. Функция f убывает

на множестве P, если для любых x 1 и x 2

из множества P, таких, что х 2 x 1 ,

выполнено неравенство f(x 2 ) 1 ).

Иначе говоря, функция f называется

возрастающей на множестве P,

если большему значению аргумента

из этого множества соответствует

большее значение функции.

Функция f называется убывающей

на множестве P, если большему

значению аргумента соответствует

меньшее значение функции.

Для четных функций задача нахождения

промежутков возрастания и убывания сильно

упрощается. Достаточно всего лишь найти

промежутки возрастания и убывания при x ≥ 0

Возрастание и убывание функции синус

y = sin x

y

y = sinx

1

0

x

-1

y

y=cosx

1

0

x

-1

y

y = sinx

Возрастание и убывание функции косинус

1

x

-1

y = cos x

y

y=cosx

1

0

x

-1

Возрастание и убывание функций тангенса и котангенса

Экстремумы.

Окрестность

Окрестность точки

а

Точки минимума, точки максимума

Точка х 0 называется точкой минимума функции f ,

если для всех х из некоторой окрестности х 0

выполняется неравенство f(x) ≥ f(x 0 )

x min = x 0

Точка х 0 называется точкой максимума функции f ,

если для всех х из некоторой окрестности х 0

выполняется неравенство f(x) ≤ f(x 0 )

x max = x 0

Спасибо за урок! Всем удачи!