Решение логических задач

В презентации рассматриваются следующие способы решения логических задач: 

1. с помощью таблицы

2. с помощью рассуждений

3. с помощью законов логики (упрощение логических выражений)

Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. 

Известно, что:

1. Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

2. парижанка не снимается в кино;

3. та, кто живет в Риме, певица;

4. Линда равнодушна к балету. 

Где живет Айрис, и какова ее профессия? 

Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский.

На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны.

Какой язык изучает каждый из молодых людей?

В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение.

Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов".

Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин".

Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин".

Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов".

Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Повторение: упростите следующие выражения…

• не А или не В или не С или А или В или С

Логические задачи

3 способа решения:

• С помощью таблицы;
• С помощью рассуждений
• С помощью законов логики (упрощение логических выражений).

Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

• Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
• парижанка не снимается в кино;
• та, кто живет в Риме, певица;
• Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

• Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский.

• На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны.

• Какой язык изучает каждый из молодых людей?

В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

• Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов".
• Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин".
• Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин".
• Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов".
• Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

• Какую фамилию носит каждый из друзей?

Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:

• Россия — "Проект не наш, проект не США"; США — "Проект не России, проект Китая"; Китай — "Проект не наш, проект России".

• Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

• Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе.

• Боб утверждает, что тот был на красном рено,
• Джон сказал, что нарушитель уехал на синей тойоте, а
• Сем показал, что машина была точно не красная и, и по всей видимости, это был форд.
• Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся.

• Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

Решение логических задач

С помощью законов логики (упрощение логических выражений)

Обычно используется следующая схема решения:

• изучается условие задачи ;
• вводится система обозначений для логических высказываний ;
• конструируется логическая формула , описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
• определяются значения истинности этой логической формулы; из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении .

Пример 1.

Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. — Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. - Первым будет Хилл. — Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым. Питер, к которому обратился Ник, возмутился: — Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину. По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны.

• Кто выиграл этап гонки?

    Решение:

Введем обозначения для логических высказываний:

Ш — победит Шумахер;

Х — победит Хилл;

А — победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание.

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Пример 2. Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе.

• Боб утверждает, что тот был на красном рено,
• Джон сказал, что нарушитель уехал на синей тойоте, а
• Сем показал, что машина была точно не красная и, и по всей видимости, это был форд.
• Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся.

• Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

Решите задачу, используя законы логики и преобразование логических выражений.

Логические высказывания: 1: Р или К 2: Ф или не К 3: Т или С

F = (P+К) & (Ф + ¬ К) & (T + C) = 1 {истина}

• Раскрываем скобки и упрощаем:

… .. = Р & ¬ К & C, следовательно…

Ответ: синий Рено

Самостоятельно : Упростите логические выражения с учетом правильной последовательности выполнения логических операций:

•     (A v ¬A) & B
•    A & (A v B) & (C v ¬B)
•    A & ¬B v B & C v ¬A & ¬B
•    A v ¬(A & B)
• ¬ (A & B & ¬ (A & B))

Задача 1:

Артур , Богдан , Виктор и Геннадий принимали участие в забеге.

Артур сказал : «Я прибежал вторым, Богдан – третьим»;

Богдан сказал : «Я – вторым, Виктор – четвёртым;

Виктор говорил: «Я прибежал третьим, Геннадий – вторым»;

Геннадий утверждал , что он пришёл четвёртым, а Артур – первым.

Каждый участник соврал в одном утверждении и сказал правду в другом.

Кто прибежал четвёртым?

Задача 2:

В конкурсе по математике Анна , Борис , Вадим , Гриша , Дима , Елена , Женя и Зоя заняли первые восемь мест. Учитель спросил у них: «Как вы думаете, кто занял первое место?»

Аня ответила: «Первое место заняла или Елена или Зоя». Борис утверждал, что первое место должно быть у него. Вадим возразил: «Победитель – Женя», а Гриша заметил: «Ты, Борис, точно не победитель». Дима предположил, что победителем не может быть ни Елена, ни Зоя. Елена была не согласна с Аней. Женя сказал, что победитель точно не Вадим, а Зоя была точно уверена, что победили Елена или Зоя.

Учитель сказал, что трое их них правы.

Кто занял первое место в конкурсе?