Решение задач на комбинации шара с конусом и пирамидой

Цели урока:   

Образовательные:

- продолжить формирование о взаимном расположении  геометрических тел (место нахождения центра сферы, радиуса сферы); систематизировать и обобщить знания воспитанников по комбинациям шара с конусом и пирамидой;

-  способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, наглядно-действенного мышления;  развивать пространственное воображение, навыки решения задач;

Формировать УУД:

- Личностные УУД: формировать опыт творческой деятельности, способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

-  Регулятивные УУД : умение определять и формулировать цель проекта; реализовать   коллективно составленный  план; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; высказывать своё предположение; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

- Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; работать в группе; совместно договариваться о правилах поведения и  следовать им, мобилизация обучающихся  на рефлексию способов деятельности и общения.

- Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного ; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке и из других информационных источников,  воспитывать потребность в самообразовании, культуру умственного труда; содействовать формированию учебных компетенций по самостоятельному приобретению знаний, продолжить подготовку воспитанников к сдаче ЕГЭ.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

Предметные: совершенствование навыков решения задач на комбинацию шара с конусом и пирамидой; умение заменять пространственные чертежи планиметрическими;  развитие навыков применения формул планиметрии для решения задач на комбинации тел; навыков  вычислений и тождественных преобразований; аргументированное пояснение этапов решения, активизация продуктивной  деятельности учащихся по включению части в целое, классификации и систематизации, выявлению внутрипредметных и межкурсовых связей.

Личностные: реализация  потребностей в самообразовании и формирование  адекватной самооценки, развитие коммуникативных способностей.

Метапредметные: выполнение пространственных чертежей на комбинацию тел, умения  работать с дополнительной литературой и иными информационными источниками и проводить отбор необходимого материала.

ТИП УРОКА: урок комплексного применения знаний.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ: сфера, шар, конус, пирамида, взаимное расположение тел, центр вписанной (описанной) сферы, диаметральная плоскость.

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ:  алгебра (тригонометрия), черчение, изобразительное искусство.

РЕСУРСЫ:

основные: учебник  «Геометрия  10-11» автор Л.С. Атанасян и др., КИМы для проведения ЕГЭ 2002-2009; библиотека учителя математики Б.Г. Зив, и др. «Задачи для 7-11 классов»; Интернет – ресурсы.

дополнительные:   каркасные модели геометрических тел и тел вращения; слайды; плакаты, изготовленные учащимися; презентации для закрепления материала.

ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА: фронтальная работа, индивидуальная работа, защита проектов.

I.МОТИВАЦИЯ К УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Проверка готовности  учебного взвода к уроку, наглядности, оформления доски, ТСО и  проецирующей аппаратуры.

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО УЧИТЕЛЯ: В конце ноября мы приступили к реализации большого проекта по теме:  « КОМБИНАЦИИ ТЕЛ». Вы по мере рассмотрения готовили теоретический материал, знакомили с необходимыми формулами, рассматривая их в применении к данным комбинациям, нарисовали плакаты. Сегодня мы должны провести защиту проектов по темам:

1) Шар, вписанный в конус.

2) Шар, описанный около конуса.

3) Шар, вписанный в пирамиду.

4) Шар, описанный около пирамиды.

5) Шар, вписанный в усечённый конус.

Обращаю внимание учащихся на 2 основополагающих вопроса при рассмотрении комбинаций с шаром:

а) где находится центр шара;

б) какой отрезок является радиусом.

При выступлении акцентировать внимание,  что  на защите учащиеся  должны чётко сформулировать решаемую проблему и пути её решения.

II. ЗАЩИТА ПРОЕКТОВ.

1. Шар, вписанный в конус.

Учащиеся  используют фрагмент презентации, используя изображение на экране.

а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ:  Шар называется вписанным в конус, если он касается основания конуса в его центре и конической поверхности.

 б) Множество точек касания с конической поверхностью образует окружность, центр которой лежит на  высоте конуса. Её радиус r  зависит от радиуса шара   R и расстояния d от центра шара до плоскости, в которой   лежит  окружность.   R²  = r²   +d² ;  r ²= R² – d²                                            

 в) Осевым сечением данной комбинации тел является треугольник, вписанный в окружность, радиус которой равен радиусу вписанного шара. Центр окружности является центром шара и находится в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, являющегося его осевым сечением.

г) Ортогональной проекцией шара, вписанного в конус, является круг меньшего диаметра, чем основание.

Замечание:  При решении задач можно пользоваться формулой: V_ш=1∕3S_полн ∙  r, r –радиус вписанного

шара;  S_полн.  - площадь полной поверхности пирамиды, конуса.

ЗАДАЧА ( решают на доске подробно).                                

В равносторонний  конус вписан шар, объём которого равен 8. Найти объём конуса 

Дано: шар вписан в конус, AS=AB, V_ш=8.

Найти: V_к.

ЗАДАЧА (решение проецируется на экране, ученик объясняет решение задачи, останавливаясь на преобразованиях).

2. Шар, описанный около конуса.

Конус  вписан  в  шар, если  его  вершина  и  окружность  основания  лежат  на  поверхности  шара. Центр  шара  находится  на  высоте  или  её продолжении, а также может совпадать с центром шара.

3. Шар, описанный около пирамиды.

Определение: Шар  называется  описанным  около  произвольной  пирамиды, если  все  вершины  пирамиды  лежат  на  его  поверхности.

3случая: - центр  шара  внутри  пирамиды;

О – точка, равноудалённая  от  всех  вершин  пирамиды.

Замечание: Чтобы  не  загромождать  чертёж, шар  не  изображают, а  показывают  только  его  центр  и радиус.

ВЫВОД 5. Если  около  пирамиды  описан  шар, то его центр  лежит  на  пересечении  перпендикуляров  восставленных  из  центров  кругов, описанных  около  треугольников, являющихся  гранями  пирамиды.

Замечание: Если  из  точки  О  опустить  перпендикуляр  на  ребро  основания, то  основание  перпендикуляра – середина ребра.

Теорема: Если  около  пирамиды  описан  шар, то  его  центр  является  точкой  пересечения  всех  плоскостей, проходящих  через  середины  ребер  пирамиды  перпендикулярно  этим  ребрам.

Замечание: Все  теоремы  со  слова  «если…», т.е.  не  всегда  можно  описать  шар.

ВЫВОД 6. Для  того, чтобы  около  пирамиды  можно  было  описать  сферу,  необходимо  и  достаточно, чтобы  около  основания  пирамиды  можно  было  описать  окружность.

Весь материал - в архиве.