Соотношения между сторонами и углами треугольника

Презентация содержит 19 слайдов.

Теорема.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 

обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство.

1) Предположим, что это не так.

2) Тогда либо AB = AC, либо AB < AC

Дано: ∆ABC, ∠C>∠B

Доказать: AB > AC

1) Предположим, что это не так.

2) Тогда либо AB = AC, либо AB < AC.

3) В первом случае ∆ABC – равнобедренный и ∠C=∠B.

4) Во втором случае ∠C < ∠B (против большей стороны лежит больший угол).

5) И то и другое противоречит условию: ∠C>∠B

Дано: ∆ABC, ∠C>∠B

Доказать: AB > AC

Доказательство.

Во втором случае ∠C < ∠B (против большей стороны лежит больший угол).

И то и другое противоречит условию: ∠C>∠B.

Поэтому наше предположение неверно, и AB > AC.

Теорема доказана.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

СТОРОНАМИ И УГЛАМИ

ТРЕУГОЛЬНИКА

16 февраля 2010г Учитель Козина Н.А.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ДИКТАНТ

№ 1

B

120⁰

110⁰

A

C

Найти углы треугольника ABC

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ДИКТАНТ

№ 2

B

85⁰

C

40⁰

A

Найти углы треугольника ABC

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ДИКТАНТ

№ 3

B

20⁰

A

C

Найти углы треугольника ABC

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ДИКТАНТ

№ 4

B

130⁰

C

A

Найти углы треугольника ABC

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ДИКТАНТ

№ 5

Найти углы треугольника ABC

130⁰

B

C

A

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ДИКТАНТ

ОТВЕТЫ

№ 1. 50, 60, 70.

№ 2. 40, 45, 95.

№ 3. 40, 70, 70.

№ 4. 50, 50, 80.

№ 5. 50, 65, 65.

Задача №5

Дано : AD = BD;

BE = CE;

∠ BDE = 40 º;

∠ BED = 60º.

Найти ∠ ABC.

B

20 º

60 º

40 º

C

A

D

E

Решение:

1) ∆ABD – равнобедренный с основанием AB, т.к. AD = BD;

2) ∠ A = ∠ B – как углы при основании;

3) ∠A = ∠B = 40 º : 2 = 20º - по свойству внешнего угла ∆ABD; т.о. ∠ABD = 20º;

Задача №5

B

30 º

20 º

60 º

4) Аналогично

40 º

∠ СBE =

60º : 2 = 30º.

A

C

D

E

5) Из ∆DBE ∠ B = 180 º - 40º - 60º = 80º.

6) ∠ ABC = 20 º + 80º + 30º = 130º.

Ответ:

∠ ABC = 130 º.

AC. Доказать: ∠C∠B B I D Доказательство. A Отложим на стороне АВ отрезок AD = AC. Т.к. AD C " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема.

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

• обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆ABC, AB AC.

Доказать: ∠C∠B

B

I

D

Доказательство.

A

• Отложим на стороне АВ отрезок AD = AC.
• Т.к. AD

C

AC. Доказать: ∠C∠B B I D Доказательство. 2 A Т.к. AD1 C Значит, ∠1 является частью ∠С и ∠С ∠1. ∠ 2 – внешний угол ∆BCD, поэтому ∠2∠B. ∠ 1=∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC. " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема.

Дано: ∆ABC, AB AC.

Доказать: ∠C∠B

B

I

D

Доказательство.

2

A

• Т.к. AD

1

C

• Значит, ∠1 является частью ∠С и ∠С ∠1.
• ∠ 2 – внешний угол ∆BCD,
• поэтому ∠2∠B.
• ∠ 1=∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC.

AC. Доказать: ∠C∠B B I D 2 Доказательство. A 1 ∠ 1=∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC. Значит, ∠C ∠1, ∠1=∠2 и ∠2∠B. Следовательно ∠С ∠B . C " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема.

Дано: ∆ABC, AB AC.

Доказать: ∠C∠B

B

I

D

2

Доказательство.

A

1

• ∠ 1=∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC.
• Значит, ∠C ∠1, ∠1=∠2 и ∠2∠B.
• Следовательно ∠С ∠B .

C

∠B Доказать: AB AC B II Доказательство. A Предположим, что это не так. C Тогда либо AB = AC, либо AB " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема.

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

• обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆ABC, ∠C∠B

Доказать: AB AC

B

II

Доказательство.

A

• Предположим, что это не так.

C

• Тогда либо AB = AC, либо AB

∠B Доказать: AB AC B Доказательство. A Предположим, что это не так. C Тогда либо AB = AC, либо AB В первом случае ∆ABC – равнобедренный и ∠C=∠B. Во втором случае ∠C И то и другое противоречит условию: ∠C∠B " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

II

Дано: ∆ABC, ∠C∠B

Доказать: AB AC

B

Доказательство.

A

• Предположим, что это не так.

C

• Тогда либо AB = AC, либо AB
• В первом случае ∆ABC – равнобедренный и ∠C=∠B.
• Во втором случае ∠C
• И то и другое противоречит условию: ∠C∠B

∠B Доказать: AB AC B Доказательство. A C Во втором случае ∠C И то и другое противоречит условию: ∠C∠B. Поэтому наше предположение неверно, и AB AC. Теорема доказана. " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

II

Дано: ∆ABC, ∠C∠B

Доказать: AB AC

B

Доказательство.

A

C

• Во втором случае ∠C
• И то и другое противоречит условию: ∠C∠B.
• Поэтому наше предположение неверно, и AB AC.

Теорема доказана.

∠C, ∠AMB – тупой; В ∆AMB AB – наибольшая и ABMB " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

№ 1

УСТНО

B

Дано: ∠C - тупой.

Доказать: MB

A

M

C

Доказательство.

∠ AMB – внешний к ∆MBC;

∠ AMB∠C, ∠AMB – тупой;

В ∆AMB AB – наибольшая и ABMB

∠A 1 2 C Доказательство. D A ∠ B ∠1; ∠1=∠2; ∠2∠A, т.к. ∠2 – внешний к ∆ABD; Значит, ∠B∠A " width="640"

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

№ 2

УСТНО

B

Дано: ∆ABC, BC = DC.

Доказать: ∠B∠A

1

2

C

Доказательство.

D

A

∠ B ∠1; ∠1=∠2; ∠2∠A,

т.к. ∠2 – внешний к ∆ABD;

Значит, ∠B∠A

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Рабочая тетрадь

Стр. 26 №2,

№ 3,

№ 4,

№ 6а,

№ 9

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И

УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Домашнее задание

Учить теорему (вопрос 6) Рабочая тетрадь

стр. 23 №16, 18,

стр.26 №1,

стр.27 №7,

стр. 28 №8, 10.