Получите свидетельство
Вход
Цель урока:
Систематизировать и обобщить известные учащимся сведения о рациональных числах; дать представление об истории возникновения понятия «Число», об истории возникновения иррациональных чисел, дать целостное представление о множестве действительных чисел.
Ход урока:
Организационный момент.
Изучение нового материала (лекция учителя – 30 минут). Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протяжении веков оно подвергалось расширению и обобщению. Но прежде чем говорить о числах, коснемся истории вопроса о цифрах, потому что цифры, это условные знаки для обозначения чисел.
Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее – черточка. Но большое число изображать таким способом было неудобно.
У разных народов было свое обозначение чисел. Например, у славян число 10000 называлось «тьмой», отсюда и выражение «тьма народу», т.е. много. Число 100000 – «легион», 1000000 – «леодр».
Из Древнего Рима до нас дошли цифры: I -1, V-5, Х – 10, С – 100, Д – 500,
М – 1000, и т.д. Более подробно с нумерациями разных народов нас познакомят ребята на последующих уроках.
Никто не знает, когда впервые появились счет и число. Но уже несколько тысяч лет назад люди собирали плоды, ягоды, охотились на диких животных, ловили рыбу, делали каменные топоры и ножи. Им надо было знать, хватит ли добычи до следующей охоты, много ли поймано рыбы. Так люди сталкивались с вопросами, которые сейчас решаются с помощью числа и счета.
Результатом счета явились числа 1,2,3, …. – которые впоследствии стали называться натуральными.
В давние времена натуральный ряд чисел был очень коротким. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких первых десятков. У многих народов число 40 было пределом счета. Выражение «Сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл слово 40 в ряде русских пословиц и поговорок. «И один глаз да зарок, не надо и сорок», «Сидела сорок лет, высидела сорок реп». Укреплению в сознании людей идеи бесконечности натурального ряда содействовали задачи, подобные той, что поставил Архимед более двух тысяч лет назад. В своем сочинении «Псалмит» он решает вопрос об исчислении песчинок в размерах вселенной. На разных языках первые числа натурального ряда произносятся по-разному. Например, на татарском языке:
1 – Бер
2 – ике
3 - еч
4 – дурт
5 – бишь
6 – алты
7 – жиде
8 – сигез
9 – тугыз
10- ун
На казахском языке попросили ребят просчитать до 10.
Ещё в древности люди научились выполнять над натуральными числами различные операции6 +,-, :, х. выполняли такие операции, как вычитание и деление, т.е. обратные операции для сложения и умножения. Люди пришли к тому, что эти операции не всегда выполнимы - искать результат этих действий среди чисел натурального ряда, например 5-8, 4:7, не расширяя понятия о числе. Это первая причина расширения числа. Но была и другая причина. Этой второй причиной оказался процесс измерения величины, который, как и процесс счета, возник очень давно. Этот процесс и заставил человека ввести дробные числа.
Во второй половине 18 века дается определение дробного числа: это отношение одной величины к другой того же рода, принятой за единицу. Долгое время дроби не назывались числами. Наши обыкновенные дроби широко употреблялись древними греками и индийцами.
Правила действия над дробями, изложенные индийским ученым Брамагуптой (8 век н.э.) лишь немногим отличаются от наших. Наряду с обыкновенными дробями использовались и десятичные дроби. Их ввел выдающийся самаркандский учёный Гияседдин Джемшир-ал-Каши (14-15 век н.э.) в Европе десятичные дроби были введены в практику голландским купцом и выдающимся инженером – ученым Симоном Стевином. Позднее, из необходимости решать уравнения люди пришли к введению отрицательных чисел, целых и дробных.
Итак! Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Множество целых чисел – это: натуральные числа, противоположные им числа и нуль.
Обозначение:
N - множество натуральных чисел
Z - множество целых чисел
Q - множество рациональных чисел.
Є - знак принадлежности. Например 2 Є N, -5 Є N, 2/3 Є Q.
Рациональное число можно представить в виде дроби
m/n, где m – целое число, n – натуральное число.
«Рациональное число» произошло от латинского слова ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).
Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби:
2/5 = 0,4; 23/20 = 1,15; -1/40= - 0,025; 8/37 = 0,216216216
Деление на 37 никогда не закончится, поэтому получающаяся дробь называется бесконечной.
Заметим, что в частном, в одном и том же порядке повторяются три цифры: 2,1,6. бесконечные десятичные дроби такого вида называются периодическими и записываются так: 8/37=0,(216).
Всякое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Верно и обратное утверждение.
Прошло очень много времени после открытия дробей, пока ум человеческий обнаружил в процессе измерения величин существование иных чисел, кроме целых и дробных.
История проникновения этих новых чисел в математику тесно связана с открытием несоизмеримых отрезков принадлежит греческому философу и математику Пифагору и его школе (6 век до н.э.) рассмотрим задачу, которую решали пифагорийцы.
Требуется точно определить длину диагонали АС квадрата АВСD, сторона которого равна 1 м.
Решение. Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат АСЕF. Площадь его равна удвоенной площади квадрата АВСD. Если АС = х, то хАСЕF 2 = 2 (S АСЕF = 2 S АВСD, S АВСD = 1)
Но никакое целое число и никакая дробь не могут удовлетворить этому уравнению, т.е. длину диагонали нельзя выразить никаким известным до сего времени числом.
Поэтому возникла необходимость введения новых чисел, которые назвали иррациональными числами.
Итак! Иррациональные числа, это числа представляющие длины отрезков, несоизмеримых с единицей масштаба (т.е. отрезков, длины которых нельзя выразить ни целым ни дробным числом).
Ребята! Эта задача привела в величайшее смущение Пифагора и всех его учеников. В Греции в то время существовало много различных философских школ. Но ни в одной из них математика не занимала такого почетного места как в школе, основанной Пифагором. В основе философии пифагорийцев лежит понятие о числе как основе мира и всего миропонимания.
«Все в природе, - говорили они, - измеряется, все подчиняется числу, в числе – сущность всех вещей; познать мир, его строение, его закономерность – это значит познать управляющие им числа… . Можно видеть природу и властную силу числа во всех человеческих занятиях, во всех искусствах, ремеслах, музыке. Число – это всё. Не материя, а число – начало и основа вещей».
Конечно, мы не можем согласиться с последним утверждением. Мы знаем, что не число есть основа вещей. Но несомненно, что число играет исключительную роль в науке о природе, в деле подчинения ее сил человеку.
И вот пифагорийцы, положившие в основу своей философии число как результат измерения и соотношения между величинами открывают существование несоизмеримых отрезков. «Все может быть измерено, - говорили они». И вдруг, реальный прямоугольный отрезок – диагональ квадрата со стороной равной единице, лишен числового образа! Это противоречило самой сущности их философии и вносило диссонанс в ту гармонию, которую видели пифагорийцы в окружающем мире. Трудно представить себе изумление и ту растерянность, которые охватили их. Открытие несоизмеримых отрезков было настолько неожиданным, что Пифагор запретил разглашать его, боясь, что основа его философии будет поколебима. И когда один из его учеников выдал тайну, то он был изгнан из союза пифагорийцев. Но истину не скроешь. Так случилось и здесь. Союз пифагорийцев распался. Члены союза расселялись по всей Греции и обучая математике постепенно передали окружающим свои знания и тайны. И среди них – тайну открытия несоизмеримых отрезков.
Из несоизмеримости диагонали и стороны квадрата вытекает, что если принять сторону квадрата за единицу измерения, то результат измерения диагонали этой единицей не может быть выражен ни целым, ни дробным числом. Следовательно, среди известных нам чисел нет числа, выражающего длину диагонали квадрата со стороной 1. но диагональ такого квадрата реально существует и вопрос о длине этой диагонали имеет смысл независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной единицей измерения или нет. Поэтому должно реально существовать и число, выражающее длину диагонали. Но оно должно быть числом иной природы, выходящее за пределы рациональных чисел. Их и назвали иррациональными.
Таким образом! Для измерения длин отрезков одних рациональных чисел оказалось недостаточно. Не нужно думать, иррациональные числа могут появиться только при измерении длин отрезков. Измерение любой величины может привести к иррациональному числу. Как же записываются иррациональные числа с помощью цифр?
Они изображаются в виде бесконечной десятичной дроби. Это дробь не может быть периодической, т.к. тогда она могла бы быть превращена в обыкновенную дробь и диагональ квадрата оказалась бы соизмерима с его стороной.
Итак! Иррациональное число – это число, выраженное бесконечной десятичной непериодической дробью. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел R. Примером иррационального числа есть п = 3,1414…. О сравнении действительных чисел вы прочитаете самостоятельно в п.10
Закрепление.
|
Группа 1 |
Группа 2 |
Группа 3 |
Группа 4 |
|
№ 253 |
№ 254 |
№255 |
№ 256 |
|
№ 271 |
№ 270 |
№ 276 |
№ 273 |
Домашнее задание.
П.9-10, № 260, 257, 272.
риложение 1
(возможно, это символ дуги, которую ставили над десятком чёрточек), число 100 - знаком 
(это символ измерительной верёвки) и т.д. Из таких цифр составляли десятичную запись любого числа, например число 124 обозначали так: 
, народы (вавилоняне, ассирийцы) жившие в Междуречье Тигра и Евфрата от второго тысячелетия до н.э. до начала нашей эры использовали два клинописных знака – прямой клин - 1, и лежащий клин - 10. например число 23 выглядело так: 
2.
Действительные числа (0.31 MB)
0
1982
492
Нравится
0
