Квадратичная функция

Функция у=х². График функции называется ПАРАБОЛОЙ.

Основные свойства графика функции у=х²

 1. Парабола проходит через начало координат   ( 0;0),   а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вверх.

2. График функции симметричен относительно оси  ординат ( Оу) : например, у(-2) = у(2) = 4. Точку пересечения  параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы.

3. При х < 0  функция является убывающей,   при х >0   - возрастающей. При х=0 функция принимает своё наименьшее значение.

Свойства функции у=ах²

При а > 0

1. Графиком функции является парабола.

2. Парабола проходит через начало координат   ( 0;0),   а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вверх.

3. График функции симметричен относительно оси  ординат ( Оу) : например, у(-3) = у(3) = 18.

4. При х < 0  функция является убывающей, при х > 0 - возрастающей. При х=0 функция принимает своё наименьшее значение ( У min).

При  а < 0

1. Графиком функции является парабола.

2. Парабола проходит через начало координат  (0;0), а остальные точки параболы лежат ниже оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вниз.

3. График функции симметричен относительно оси  ординат ( Оу) : например, у(-3) = у(3) = -18.

4. При х < 0  функция является возрастающей, при х > 0   - убывающей  . При х=0 функция принимает своё наибольшее значение ( У max).

Квадратичная функция

Учитель: Иванова Ольга Николаевна

МКОУ « Горбуновская СОШ»

Свердловская область

Талицкий район

1.Построить таблицу значений .

(берём любое значение переменной Х и считаем У= Х*Х).

2. Построить на координатной плоскости точки с данными координатами

( 1;1), (2;4), (3;9), ( 4;16) (0;0), (-1;1), (-2;4),(-3;9), (-4;16).

3. Соединить полученные точки плавной линией .

Полученный график функции называется ПАРАБОЛОЙ.

х

1

у

1

2

3

4

9

4

0

16

0

-1

-2

1

4

-3

-4

9

16

0 - возрастающей . При х=0 функция принимает своё наименьшее значение . " width="640"

Основные свойства графика функции

• Парабола проходит через начало координат ( 0;0), а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вверх.
• График функции симметричен относительно оси ординат ( Оу) : например, у(-2) = у(2) = 4. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы.
• При х функция является убывающей , при х 0 - возрастающей . При х=0 функция принимает своё наименьшее значение .

0 Рассмотрим на примере У нас коэффициент а=2. 1.Построим таблицу значений. (берём любое значение переменной Х и считаем У= х*х *2). 2.Построить на координатной плоскости точки с данными координатами ( 0;0), (1;2), (2;8), (3;18),(-1;2), ( -2;8),(-3;18). 3. Соединить полученные точки плавной линией. х 0 у 1 0 2 2 3 8 18 -1 -2 2 -3 8 18 " width="640"

A 0

Рассмотрим на примере

У нас коэффициент а=2.

1.Построим таблицу значений.

(берём любое значение переменной Х и считаем У= х*х *2).

2.Построить на координатной плоскости точки с данными координатами

( 0;0), (1;2), (2;8), (3;18),(-1;2), ( -2;8),(-3;18).

3. Соединить полученные точки плавной линией.

х

0

у

1

0

2

2

3

8

18

-1

-2

2

-3

8

18

А

Рассмотрим на примере

У нас коэффициент а = - 2.

1.Построим таблицу значений.

(берём любое значение переменной Х и считаем У= х*х *( -2).

2.Построить на координатной плоскости точки с данными координатами

( 0;0), (1;-2), (2;-8), (3;-18),(-1;-2), ( -2;-8),(-3;-18).

3. Соединить полученные точки плавной линией.

х

0

у

1

0

2

-2

3

-8

-1

-18

-2

-2

-3

-8

-18

0 Графиком функции является парабола. Графиком функции является парабола. Парабола проходит через начало координат ( 0;0), а остальные точки параболы лежат ниже оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вниз . График функции симметричен относительно оси ординат ( Оу) : например, у(-3) = у(3) = -18. При х функция является возрастающей , при х 0 - . При х=0 функция принимает своё наибольшее значение ( У max). Парабола проходит через начало координат ( 0;0), а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вверх. График функции симметричен относительно оси ординат ( Оу) : например, у(-3) = у(3) = 18. При х функция является убывающей , при х 0 - возрастающей . При х=0 функция принимает своё наименьшее значение ( У min). Растяжение вдоль оси Оу при Сжатие к оси Ох при Растяжение вдоль оси Оу при Сжатие к оси Ох при " width="640"

Свойства функции

При а

При а 0

• Графиком функции является парабола.

• Графиком функции является парабола.

• Парабола проходит через начало координат ( 0;0), а остальные точки параболы лежат ниже оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вниз .
• График функции симметричен относительно оси ординат ( Оу) : например, у(-3) = у(3) = -18.
• При х функция является возрастающей , при х 0 - . При х=0 функция принимает своё наибольшее значение ( У max).

• Парабола проходит через начало координат ( 0;0), а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс (Ох) – ветви параболы направлены вверх.
• График функции симметричен относительно оси ординат ( Оу) : например, у(-3) = у(3) = 18.
• При х функция является убывающей , при х 0 - возрастающей . При х=0 функция принимает своё наименьшее значение ( У min).

• Растяжение вдоль оси Оу при
• Сжатие к оси Ох при

• Растяжение вдоль оси Оу при
• Сжатие к оси Ох при

0, то найти корни квадратного трёхчлена по формуле 4. Найти точку пересечения параболы с осью Оу : при х=0, у = С , т.е. ( 0;С). Найти дополнительные точки параболы ( если D Все точки и им симметричные, не забываем отмечать на координатной плоскости. Соединим все отмеченные точки плавной линией - получим график квадратичной функции – параболу. " width="640"

Функция

Общая схема построения:

• Найти координаты вершины параболы ( ), где

• Отметить данную точку на координатной плоскости и провести через неё прямую, параллельную Оу – ось симметрии параболы.
• Найти точки пересечения параболы с осью Ох ( если они есть), т.е. найти D и если D 0, то найти корни квадратного трёхчлена по формуле

4. Найти точку пересечения параболы с осью Оу : при х=0, у = С , т.е. ( 0;С).

• Найти дополнительные точки параболы ( если D
• Все точки и им симметричные, не забываем отмечать на координатной плоскости.
• Соединим все отмеченные точки плавной линией - получим график квадратичной функции – параболу.

0, т.е. ( ½;0) и ( 1;0). " width="640"

Рассмотрим пример:

• 3. Найдём точку пересечения с осью Оу:

• 1. Координаты вершины параболы

При х=0 у=-1, т.е. ( 0;-1).

4. Отметим точки симметричные данным на плоскости и проведём линию, получим параболу:

( )

• 2.Найдём точки пересечения с осью Ох:

D= 9-4*(-2)*(-1)=9-8=1, D0,

т.е. ( ½;0) и ( 1;0).

0 , то ветви параболы направлены вверх , функция принимает наименьшее значение в абсциссе вершины параболы. Если а ветви параболы направлены вниз , функция принимает наибольшее значение в абсциссе вершины параболы. Ось симметрии параболы – прямая, параллельная оси ординат ( Оу) и проходящая через вершину параболы . Область определения функции – вся числовая ось ( Ох), т.е. х – любое число. Если D = 0 , то парабола имеет с осью Ох всего одну общую точку касания – абсцисса вершины. Если D 0 , то парабола пересекает ось Ох в двух точках ( корни квадратного трёхчлена). Если D , то парабола с осью Ох не пересекается , т.е. находится выше или ниже оси, в зависимости от направления ветвей. " width="640"

Основные свойства квадратичной функции

1. Графиком функции является парабола:

Если а 0 , то ветви параболы направлены вверх , функция принимает наименьшее значение в абсциссе вершины параболы.

Если а ветви параболы направлены вниз , функция принимает наибольшее значение в абсциссе вершины параболы.

• Ось симметрии параболы – прямая, параллельная оси ординат ( Оу) и проходящая через вершину параболы .
• Область определения функции – вся числовая ось ( Ох), т.е. х – любое число.
• Если D = 0 , то парабола имеет с осью Ох всего одну общую точку касания – абсцисса вершины.
• Если D 0 , то парабола пересекает ось Ох в двух точках ( корни квадратного трёхчлена).
• Если D , то парабола с осью Ох не пересекается , т.е. находится выше или ниже оси, в зависимости от направления ветвей.

Домашнее задание

• Выучить все основные свойства квадратичной функции

• Построить графики:

№ 624, 625

любые 2 на выбор.

• с.173 – « Проверь себя!»