Арифметическая прогрессия

Ход урока:

Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к работе. Сообщение темы урока, постановка целей и задач урока.

Устная работа (с применением интерактивной доски). 

Мы изучили тему «Арифметическая прогрессия», познакомились с новыми понятиями, терминами, вывели формулы для вычисления n-го члена и суммы  n первых членов арифметической прогрессии, научились с их помощью решать задачи.

Основная цель сегодняшнего урока – обобщить и систематизировать полученные знания, научиться применять их при решении нестандартных задач. Но, прежде чем приступить к их решению, давайте разомнемся и решим несколько устных задач (решаются с помощью интерактивной доски)

1.  Вставьте пропущенное число:

• 18, 21, 24, 27, … ;
• 0, 2, … , 6, … ;
• -10, -5, 0, … .

2. Даны четыре арифметические прогрессии. Выберите среди них ту, среди членов которой есть число -6.

• a_n= -2n + 10;
• a_n= -4n + 1;
• a_n= 3n ;
• a_n= -4n + 1.

3. Из данных чисел составьте арифметическую прогрессию:

• -7, -4, -1, 2, 5;
• 35, 28, 21, 14, 7.

4. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (a_n), если a₁=2, d=3.

Решение задач

Говоря об арифметической прогрессии мы неоднократно повторяем слово «прогрессия». А знаете ли вы, откуда произошло это слово?

Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским математикам. Математические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». В одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии

1×2, 2×2, … , 2×(n-1).

Широко известна задача о вознаграждении изобретателя шахмат, записанная в древнеегипетском папирусе Ахмеса более 2000 лет назад. В папирусе Ринда, составленном около 2000 лет до нашей эры и являющейся списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося к 3 тысячелетию до нашей эры, имеется задача о делении хлеба. Давайте и мы решим эту задачу.

Задача 1. Сто мер хлеба разделили между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Для решения этой задачи мы использовали формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. Впервые эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III век н. э.). Правило отыскания суммы n первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «Книге абака» Л. Фибоначчи (1202 г). Но, несмотря на вековую давность этих формул, в школьных учебниках они появились совсем недавно. В первом учебнике «Арифметика» Л. Магницкого, изданном 200 лет назад и служившим полвека основным руководством для обучения, общих формул для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии нет, и даже сам составитель не без труда справлялся с такими задачами.

Между тем, вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии можно с помощью следующих несложных рассуждений.

Пусть (a_n) : a₁, a₂, а₃…. – арифметическая прогрессия. Изобразим члены прогрессии с помощью прямоугольников площадью a₁, a₂, а₃ …a_n соответственно.

Площадь получившейся фигуры ABCD равна сумме n первых членов нашей арифметической прогрессии, то есть

S_ABCD = S_n

Дополним фигуруABCD с помощью равной ей фигуры CKMD до прямоугольника

S_ABKM = AB × BK

BK= a₁+ a_n, AB = n, S_ABKM = 2S_n.

Тогда, 2S_n.=( a₁+ a_n)×n

S_n.= ( a₁+ a_n)×n/ 2

Легко заметить закономерность, присущую арифметической прогрессии

a₁ + a_n = , a₂ + a_n-1,

то есть для любой конечной арифметической прогрессии (a_n) : a₁, a₂, а₃…. a_n имеет место равенство

a₁ + a_n = a_k + a_n-k+-1,

Обратите внимание, что сумма индексов у слагаемых в левой и правой частях одна и та же n + 1.

Этим свойством интуитивно воспользовался маленький Гаусс, когда за несколько минут сложил числа от 1 до 100, тем самым немало удивив своего учителя. Запишите это свойство арифметической прогрессии в справочники.

Задача 2. Найдите сумму 20 первых членов арифметической прогрессии, если

a₆ + a₉ + a₁₂+ a₁₅ = 20.

Задача 3. Решите уравнение

1+3+5+7+….+x=625

Арифметическая прогрессия обладает еще одним интересным свойством, которое можно отнести к разряду занимательных.

Рассмотрим последовательность четных натуральных чисел (a_n) : 2, 4, 6, 8, …- арифметическая прогрессия.

Из девяти первых членов этой арифметической прогрессии дома вы составили магический квадрат

8     18        4

6     10        14

16   2          12

Пусть (a_n) : a₁, a₂, а₃…. a_n – арифметическая прогрессия, a_nÎN

a₄    a₉             а₂

a₃    a₅             а₇

a₈    a₁             а₆

В самом деле,

a₁+3d                     a₁+8d               a₁+d

a₁+2d                     a₁+4d               a₁+6d

a₁+7d                     a₁                         a₁+5d

Оказывается, из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. Константа магического квадрата равна 3a₁ + 12d.

Законам арифметической прогрессии подчиняются даже стихотворения.

Вспомним строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить».

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил), то есть ударными являются 2, 4, 6, 8 и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью, равной 2

(a_n) : 2, 4, 6, 8, …

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха (буря небо мглою кроет).

Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность, по-прежнему, равна 2:

(b_n) : 1, 3, 5, 7, …

Подведение итогов урока. Задание на дом.

1. Мама предложила сыну на выбор два варианта: давать  ему ежедневно на карманные расходы в течении месяца по восемь рублей или дать в первый день 50копеек, зато в следующий на 50 копеек больше, в следующий еще на 50 копеек больше и так далее в течении месяца. Какой вариант выгоднее для сына, если мама с сыном договаривается на апрель? На март?

2. Найдите значение выражения: (1²+3²+5²+…+199²) – (2²+4²+…+200²)

3. Решите уравнение 1+4+7+…+х =176.

Урок алгебры в 9-м классе по теме «Арифметическая прогрессия»

Карпова Елена Павловна,

учитель математики МБОУ «СОШ №2»

городского округа город Стерлитамак

Республики Башкортостан

Цели урока:

• Образовательная: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме, выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по теме, показать применение полученных знаний в практической деятельности и нестандартных ситуациях;

• Развивающая: развитие кругозора, мышления, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики;

• Воспитательная: воспитание дисциплинированности, аккуратности, усидчивости, толерантного отношения друг к другу;

Оборудование: доска, мел, проектор, интерактивная доска.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Проверка готовности учащихся к работе. Сообщение темы урока, постановка целей и задач урока.

1. Устная работа (с применением интерактивной доски).

Мы изучили тему «Арифметическая прогрессия», познакомились с новыми понятиями, терминами, вывели формулы для вычисления n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии, научились с их помощью решать задачи.

Основная цель сегодняшнего урока – обобщить и систематизировать полученные знания, научиться применять их при решении нестандартных задач. Но, прежде чем приступить к их решению, давайте разомнемся и решим несколько устных задач (решаются с помощью интерактивной доски)

1. Вставьте пропущенное число:

• 18, 21, 24, 27, … ;

• 0, 2, … , 6, … ;

• -10, -5, 0, … .

1. Даны четыре арифметические прогрессии. Выберите среди них ту, среди членов которой есть число -6.

• a_n= -2n + 10;

• a_n= -4n + 1;

• a_n= 3n ;

• a_n= -4n + 1.

1. Из данных чисел составьте арифметическую прогрессию:

• -7, -4, -1, 2, 5;

• 35, 28, 21, 14, 7.

1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (a_n), если a₁=2, d=3.

1. Решение задач

Говоря об арифметической прогрессии мы неоднократно повторяем слово «прогрессия». А знаете ли вы, откуда произошло это слово?

Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским математикам. Математические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». В одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии

12, 22, … , 2(n-1).

Широко известна задача о вознаграждении изобретателя шахмат, записанная в древнеегипетском папирусе Ахмеса более 2000 лет назад. В папирусе Ринда, составленном около 2000 лет до нашей эры и являющейся списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося к 3 тысячелетию до нашей эры, имеется задача о делении хлеба. Давайте и мы решим эту задачу.

Задача 1. Сто мер хлеба разделили между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Для решения этой задачи мы использовали формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. Впервые эта формула была доказана древнегреческим ученым Диофантом (III век н. э.). Правило отыскания суммы n первых членов произвольной арифметической прогрессии встречается в «Книге абака» Л. Фибоначчи (1202 г). Но, несмотря на вековую давность этих формул, в школьных учебниках они появились совсем недавно. В первом учебнике «Арифметика» Л. Магницкого, изданном 200 лет назад и служившим полвека основным руководством для обучения, общих формул для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии нет, и даже сам составитель не без труда справлялся с такими задачами.

Между тем, вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии можно с помощью следующих несложных рассуждений.

Пусть (a_n) : a₁, a₂, а₃…. – арифметическая прогрессия. Изобразим члены прогрессии с помощью прямоугольников площадью a₁, a₂, а₃ …a_n соответственно.

В С К

a₁

a₂

a₃

…..

a_n

А D M

Площадь получившейся фигуры ABCD равна сумме n первых членов нашей арифметической прогрессии, то есть

S_ABCD = S_n

Дополним фигуруABCD с помощью равной ей фигуры CKMD до прямоугольника

S_ABKM = AB  BK

BK= a₁+ a_n, AB = n, S_ABKM = 2S_n.

Тогда, 2S_n.=( a₁+ a_n)n

S_n.= ( a₁+ a_n)n/ 2

Легко заметить закономерность, присущую арифметической прогрессии

a₁ + a_n = , a₂ + a_n-1,

то есть для любой конечной арифметической прогрессии (a_n) : a₁, a₂, а₃…. a_n имеет место равенство

a₁ + a_n = a_k + a_n-k+-1,

Обратите внимание, что сумма индексов у слагаемых в левой и правой частях одна и та же n + 1.

Этим свойством интуитивно воспользовался маленький Гаусс, когда за несколько минут сложил числа от 1 до 100, тем самым немало удивив своего учителя. Запишите это свойство арифметической прогрессии в справочники.

Задача 2. Найдите сумму 20 первых членов арифметической прогрессии, если

a₆ + a₉ + a₁₂+ a₁₅ = 20.

Задача 3. Решите уравнение

1+3+5+7+….+x=625

Арифметическая прогрессия обладает еще одним интересным свойством, которое можно отнести к разряду занимательных.

Рассмотрим последовательность четных натуральных чисел (a_n) : 2, 4, 6, 8, …- арифметическая прогрессия.

Из девяти первых членов этой арифметической прогрессии дома вы составили магический квадрат

8 18 4

6 10 14

16 2 12

Пусть (a_n) : a₁, a₂, а₃…. a_n – арифметическая прогрессия, a_nN

a₄ a₉ а₂

a₃ a₅ а₇

a₈ a₁ а₆

В самом деле,

a₁+3d a₁+8d a₁+d

a₁+2d a₁+4d a₁+6d

a₁+7d a₁ a₁+5d

Оказывается, из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. Константа магического квадрата равна 3a₁ + 12d.

Законам арифметической прогрессии подчиняются даже стихотворения.

Вспомним строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить».

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил), то есть ударными являются 2, 4, 6, 8 и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью, равной 2

(a_n) : 2, 4, 6, 8, …

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха (буря небо мглою кроет).

Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность, по-прежнему, равна 2:

(b_n) : 1, 3, 5, 7, …

1. Подведение итогов урока. Задание на дом.

1. Мама предложила сыну на выбор два варианта: давать ему ежедневно на карманные расходы в течении месяца по восемь рублей или дать в первый день 50копеек, зато в следующий на 50 копеек больше, в следующий еще на 50 копеек больше и так далее в течении месяца. Какой вариант выгоднее для сына, если мама с сыном договаривается на апрель?На март?

2. Найдите значение выражения

(1²+3²+5²+…+199²) – (2²+4²+…+200²)

1. Решите уравнение

1+4+7+…+х =176