Многогранники. Призма

Презентация по геометрии по теме "Многогранники. Призма" включает в себя 73 слайда по темам к урокам: Двугранные углы.Линейный угол, Многогранник и его элементы, Призма и её элементы, Диагональное сечение призмы, Сечения в жизни человека, Прямая, наклонная и правильная призма, Параллелепипед, его свойства, Понятие площади. Площадь боковой поверхности призмы, Площадь полной поверхности призмы, Понятие объёма. Объём призмы, Решение задач, Зачёт (лабораторно – практическая работа). 

Многогранники. Призма.

Тема

http://lapinagv.jimdo.com/

Двугранные углы. Линейный угол.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

• Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

• Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями , а общая граница полуплоскостей называется ребром двугранного угла.

http://lapinagv.jimdo.com/

Предметы, имеющие форму двугранного угла

http://lapinagv.jimdo.com/

Линейный угол двугранного угла

• Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

http://lapinagv.jimdo.com/

• Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

http://lapinagv.jimdo.com/

Многогранник и его элементы.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников .

• Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями .
• Стороны граней называются рёбрами , концы рёбер – вершинами многогранника.
• Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называются диагональю многогранника.

http://lapinagv.jimdo.com/

Симметрия в пространстве

• Фигура может иметь один или несколько центров симметрии.
• С симметрией часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту.

http://lapinagv.jimdo.com/

• Многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета.
• Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.
• В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

http://lapinagv.jimdo.com/

Симметрия в архитектуре

http://lapinagv.jimdo.com/

http://lapinagv.jimdo.com/

Многогранники

• Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Выпуклые

Невыпуклые

http://lapinagv.jimdo.com/

Выпуклый многогранник называется правильным , если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число рёбер.

http://lapinagv.jimdo.com/

Существует 5 типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр , икосаэдр .

http://lapinagv.jimdo.com/

Правильный тетраэдр

• Составлен из четырех равносторонних треугольников.
• Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

http://lapinagv.jimdo.com/

Правильный октаэдр

• Составлен из восьми равносторонних треугольников.
• Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников.

http://lapinagv.jimdo.com/

Правильный икосаэдр

• Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 °.

http://lapinagv.jimdo.com/

Куб

• Составлен из шести квадратов.
• Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов.

http://lapinagv.jimdo.com/

Правильный додекаэдр

• Составлен из двенадцати правильных пятиугольников.
• Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.

http://lapinagv.jimdo.com/

Развёртки геометрических фигур

http://lapinagv.jimdo.com/

Призма и её элементы.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

• Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,- боковыми рёбрами призмы.

http://lapinagv.jimdo.com/

• Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях .

• У призмы боковые рёбра параллельны и равны .

• Призма называется n-угольной , если её основания - n-угольники .

http://lapinagv.jimdo.com/

Задание №1

• Может ли призма иметь:

а) 9 вершин; в) 14 рёбер;

б) 16 вершин; г) 17 рёбер?

2) Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет 15 рёбер?

3) Определите вид призмы, которая имеет:

а) 10 вершин;

б) 18 рёбер;

в) 8 граней.

http://lapinagv.jimdo.com/

Задание №2

На рисунке найдите фигуры, которые являются развёртками призм. Определите вид этих призм.

http://lapinagv.jimdo.com/

Задание №3

Какие из изображённых

на рисунке фигур являются

развёртками куба?

Можно ли окрасить грани куба тремя красками так, чтобы соседние грани были окрашены в различные цвета?

http://lapinagv.jimdo.com/

• Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований.

• Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности .

• Боковая поверхность состоит из параллелограммов.

http://lapinagv.jimdo.com/

• Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы .

http://lapinagv.jimdo.com/

Самостоятельная работа

• Изобразите треугольную и четырёхугольную призмы.
• Обозначьте их, проведите диагонали и высоты, выпишите все элементы:

- вершины ;

- основания ;

- боковые рёбра ;

- боковые грани ;

- высоты ;

- диагонали .

http://lapinagv.jimdo.com/

Диагональное сечение призмы.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Диагональным сечением призмы называется сечение плоскостью, которая проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

http://lapinagv.jimdo.com/

Сечения в жизни человека.

http://lapinagv.jimdo.com/

Линкор "Джулио Чезаре" и его поперечное сечение

http://lapinagv.jimdo.com/

Трос биметалический (сечение)

http://lapinagv.jimdo.com/

Вид внутренности дома в сечении.

http://lapinagv.jimdo.com/

План крепости. Сечение по первому этажу

http://lapinagv.jimdo.com/

На каком рисунке изображено сечение куба плоскостью ABC?

B

A

B

A

2

1

C

C

A

B

B

A

3

4

C

C

http://lapinagv.jimdo.com/

НАХОЖДЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ ГРАНИ КУБА

D 1

C 1

B 1

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . На его ребре ВВ 1 дана точка M. Найти точку пересечения прямой C 1 M с плоскостью грани куба ABCD.

A 1

M

D

C

B

A

Построение:

• Продолжаем C 1 M и BC до пересечения в точке X, которая и есть искомая точка пересечения прямой C 1 M с плоскостью грани ABCD.

X

http://lapinagv.jimdo.com/

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ КУБА ПЛОСКОСТЬЮ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A 1 , М, N M  D 1 C 1 и N  DD 1 .

B 1

C 1

M

D 1

A 1

N

Построение:

1. A 1  M

B

C

2. A 1  N

D

A

3. M  N

4. A 1 M N – искомое сечение

http://lapinagv.jimdo.com/

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕКУЩЕЙ ПЛОСКОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ НИЖНЕГО ОСНОВАНИЯ КУБА

Найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

B 1

C 1

M

D 1

A 1

N

B

C

Y

A

D

X

1. MN  CD=X

2. A 1 N  AD=Y

3. X  Y

4. XY – искомая линия пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба

http://lapinagv.jimdo.com/

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ КУБА ПЛОСКОСТЬЮ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: М  A 1 В 1 , N  B 1 C 1 , K  CC 1

Построение

1. M  N.

X

N

B 1

M

C 1

Z

D 1

2. MN  D 1 C 1 =X

A 1

3. N  K, X  K

K

4. XK  DC=P

5. KP  DD 1 =Y

6. MN  A 1 D 1 =Z

R

B

7. Y  Z

C

8. YZ  AD =Q

P

9. YZ  AA 1 =R

D

A

Q

10. Q  P, R  M

11. MNKPQR – искомое сечение

Y

http://lapinagv.jimdo.com/

Задание №1

Сечение правильной треугольной призмы АВСА’B’C’ проходит через ребро АВ и точку пересечения диагоналей грани АСС’А’ . Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.

http://lapinagv.jimdo.com/

Задание №2

Сечение правильной треугольной призмы АВСА’B’C’ проходит через ребро АВ и точку пересечения медиан основания А’В’С’ . Каким многоугольником является это сечение? Сделайте рисунок и отметьте равные стороны этого многоугольника.

http://lapinagv.jimdo.com/

Задание №3

Построить изображение сечения куба , проходящего через три точки – А,В,С, принадлежащие попарно скрещивающимся рёбрам этого куба.

http://lapinagv.jimdo.com/

Прямая, наклонная и правильная призма.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Призма называется прямой , если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• В противном случае призма называется наклонной .

• Высота прямой призмы равна её боковому ребру .

http://lapinagv.jimdo.com/

• Прямая призма называется правильной , если её основания являются правильными многоугольниками.

У правильной призмы все боковые грани – прямоугольники .

http://lapinagv.jimdo.com/

Задача

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см . Найдите диагональ призмы.

В 1 С 1

А 1 D 1

14 см

B C

А D

http://lapinagv.jimdo.com/

Параллелепипед, его свойства.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Параллелепипед – это призма, основания которой – параллелограмм.

• У параллелепипеда все грани – параллелограммы .
• Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими .

http://lapinagv.jimdo.com/

• Прямой параллелепипед,

у которого основанием

является прямоугольник

называется прямоугольным

параллелепипедом .

• Прямоугольный параллелепипед,

у которого все рёбра равны,

называется кубом.

• Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами ( измерениями ).
• У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

http://lapinagv.jimdo.com/

Основные свойства параллелепипеда

Теорема 1 . У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

http://lapinagv.jimdo.com/

Основные свойства параллелепипеда

Теорема 2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

http://lapinagv.jimdo.com/

Основные свойства параллелепипеда

Теорема 3 . В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его линейных размеров..

http://lapinagv.jimdo.com/

Задача

Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям:

• 1, 2, 2;
• 2, 3, 6;
• 6, 6, 7.

http://lapinagv.jimdo.com/

Понятие площади. Площадь боковой поверхности призмы.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Фигуру называют простой если её можно разбить на конечное число плоских треугольников.
• Площадь – это положительная

величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

• 1) Равные фигуры имеют равные площади.
• 2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей его частей.
• 3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

http://lapinagv.jimdo.com/

Упражнение

• 1. Как изменится площадь квадрата, если увеличить в 3 раза каждую его сторону?
• 2. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?

http://lapinagv.jimdo.com/

• Боковой поверхностью призмы называется сумма площадей боковых граней.

a 1 a 2 a 3

S бок =a 1 l+a 2 l+a 3 l=(a 1 +a 2 +a 3 )l=pl

l l l l

Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы , т.е. на длину бокового ребра.

S бок =pl=ph

p –периметр основания призмы;

l – длина боковых рёбер;

h – высота призмы.

http://lapinagv.jimdo.com/

Задача

В прямой треугольной призме все рёбра равны. Боковая поверхность равна 12 м 2 . Найдите высоту.

http://lapinagv.jimdo.com/

Площадь полной поверхности призмы.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней.

S пол =S бок +2S осн

http://lapinagv.jimdo.com/

Задача

1. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м 2 , 2 м 2 , 3 м 2 . Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

2. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям:

10 см , 22 см , 16 см.

http://lapinagv.jimdo.com/

Понятие объёма. Объём призмы.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

• Тело называют простым если его можно разбить на конечное число

треугольных пирамид.

• Объём – это положительная

величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

• 1) Равные тела имеют равные объёмы.
• 2) Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объём этого тела равна сумме объёмов его частей.
• 3) Объём куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

http://lapinagv.jimdo.com/

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=abc

Объём любого прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади егооснования на высоту:

V=S осн H

http://lapinagv.jimdo.com/

Объём любой призмы равен произведению площади основания на высоту:

V=S осн H

http://lapinagv.jimdo.com/

Задача

Боковая поверхность правильной четырёхугольной призмы равна 32 м 2 , а полная поверхность 40 м 2 . Найдите высоту и объём призмы.

http://lapinagv.jimdo.com/

Решение задач.

Тема урока

http://lapinagv.jimdo.com/

Задача

1. Три латунных куба с рёбрами 3 см , 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?

2. Требуется установить резервуар для воды ёмкостью 10 м 3 на прямоугольной площадке размером 2,5*1,75 м , служащий для него дном. Найдите высоту резервуара?

http://lapinagv.jimdo.com/

Зачёт (лабораторно – практическая работа) по теме: «Многогранники. Призма».

C 1

D 1

A 1

B 1

Тема урока

D

C

A

B

http://lapinagv.jimdo.com/

План выполнения работы:

• Определить вид данной фигуры.
• Определить необходимые измерения для уточнения вида фигуры.
• Записать формулы вычисления периметра и площади основания данной фигуры.
• Записать формулу вычисления боковой поверхности данной фигуры.
• Записать формулу вычисления полной поверхности данной фигуры.
• Записать формулу для вычисления объёма данной фигуры.
• Произвести непосредственные измерения соответствующих элементов.
• Вычислить периметр основания данной фигуры.
• Вычислить площадь боковой поверхности фигуры.
• Вычислить площадь основания данной фигуры.
• Вычислить площадь полной поверхности фигуры.
• Вычислить объём тела.

http://lapinagv.jimdo.com/