Основы логики
Основы формальной логики заложил Аристотель:
впервые отделил логические формы мышления от его содержания.
Логика – это наука о формах и способах мышления
Формы мышления
понятие
высказывание
умозаключение
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные существенные признаки объекта
(признаки, которые отличают один объект от другого).
Понятие
компьютер
определяется совокупностью предметов, на которые распространяется понятие
( электронное устройства для обработки информации с монитором и клавиатурой.)
Совокупность существенных признаков
Высказывание
это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними.
- Высказывание истинно ложно
Высказывание
Высказывание
Умозаключение
это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание.
1. Приведите в соответствие:
А) понятие Б) высказывание В) умозаключение
- На улице идёт дождь.
- Парта
- Человек произошёл от обезьяны?
- Глобус – это модель Земли.
- Если три дня подряд тепло, то наступило лето.
Поставьте знак «+», если выбранное вами высказывание – истинно .
2. Приведите пример простого высказывания.
3. Приведите пример составного высказывания.
4. Приведите пример умозаключения.
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В алгебре высказываний обозначаются именами логических переменных (заглавными буквами латинского алфавита), которые могут принимать лишь два значения
А= «Два умножить на два равно четырём»,
В= «Два умножить на два равно пяти».
А и В= «Два умножить на два равно четырём и два умножить на два равно пяти».
А или В= «Два умножить на два равно четырём или два умножить на два равно пяти».
Базовые логические операции
И – конъюнкция
ИЛИ –дизъюнкция
НЕ – инверсия
Логическое умножение ( конъюнкция )
-объединение нескольких высказываний в одно с помощью союза «и».
- Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда , когда истинны входящие в него простые высказывания.
Логическое умножение обозначают:
^, &, *
A= «5х5=35»,
B= «3х3=10»,
C= «5х5=25»,
D= «3х3=9».
- F= A ^ D ,
- F= A ^ B ,
- F= C ^ B ,
- F= C ^ D .
F – составное высказывание
A= «5х5=35»,
B= «3х3=10»,
C= «5х5=25»,
D= «3х3=9».
A= 0
B= 0,
C= 1,
D= 1.
- F= A ^ D
- F= A ^ B
- F= C ^ B
- F= C ^ D
= 0 ^ 1
=0 ^ 0
= 1 ^ 0
= 1 ^ 1
= 0 ,
= 0 ,
= 0 ,
= 1 .
Таблица истинности функции логического умножения
А
В
0
F= A^B
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Логическое сложение ( дизъюнкция )
-объединение нескольких высказываний в одно с помощью союза «или».
- Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно входящее в него простое высказывание.
Логическое сложение обозначают:
v, +
A= «5х5=35»,
B= «3х3=10»,
C= «5х5=25»,
D= «3х3=9».
- F= A v D ,
- F= A v B ,
- F= C v B ,
- F= C v D .
F – составное высказывание
A= «5х5=35»,
B= «3х3=10»,
C= «5х5=25»,
D= «3х3=9».
A= 0
B= 0,
C= 1,
D= 1.
- F= A v D
- F= A v B
- F= C v B
- F= C v D
= 0 v 1
=0 v 0
= 1 v 0
= 1 v 1
= 1 ,
= 0 ,
= 1 ,
= 1 .
Таблица истинности функции логического сложения
А
В
0
F= A v B
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Логическое отрицание (инверсия)
Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
А=« А=«
Таблица истинности функции логического отрицания
A
F=Ā
0
1
1
0
Логические выражения
A= «5х5=35», B= «3х3≠10»,
C= «5х5=25», D= «3х3=9».
F= («5х5=35» или «3х3=9») и («5х5=25» или «3х3≠10»)
F= ( A v D ) ^ ( C v B )
A= «5х5=35» - 0, B= «3х3≠10» - 1,
C= «5х5=25» - 1, D= «3х3=9» - 1.
F= ( A v D ) ^ ( C v B )
F= (0 v 1) ^ (1 v 1)=1 ^1=1
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
Если количество переменных равно n , то количество строк равно 2 n ( n= 2, количество строк 2 2 =4).
2. Количество столбцов.
Количество логических переменных + количество логических операций (2+5=7).
3. Строим таблицу.
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
A
E
AvE
Ā
Ē
Ā v Ē
( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
A
E
0
AvE
0
0
Ā
1
1
Ē
0
1
Ā v Ē
1
( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
A
E
0
AvE
0
0
Ā
1
1
0
1
Ē
0
1
Ā v Ē
1
1
( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
1
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
A
E
0
AvE
0
0
1
Ā
1
0
1
1
Ē
1
0
1
Ā v Ē
1
1
1
1
( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
0
0
0
1
0
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
A
E
0
0
AvE
0
Ā
1
1
0
1
0
1
Ē
1
1
1
Ā v Ē
1
1
1
1
0
( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
0
1
0
1
1
0
0
Таблица истинности логической функции F= ( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
A
E
0
AvE
0
0
Ā
1
0
1
Ē
1
1
1
0
1
1
Ā v Ē
1
1
1
1
0
0
( A v E ) ^ ( Ā v Ē )
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
Построить таблицу истинности логической функции F= ( A ^ E ) v ( Ā ^ Ē )
A
E
0
A ^ E
0
0
Ā
1
0
1
Ē
1
0
1
0
1
1
Ā ^ Ē
0
1
1
1
0
0
( A ^ E ) v ( Ā ^ Ē )
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
Равносильные логические выражения
Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными (=)
F1= A^B
F2= AvB
F1 = F2
Доказать, что F1 = F2
F1= A v B
F2= A ^ B
«И»
«ИЛИ»
«НЕ»
«Если … то …»
«…тогда и только тогда, когда…»
Логическое следование (импликация)
- Соединение двух высказываний в одно с помощью « Если … то …»
- «Если А то В»
- А → В
Составное высказывание,
образованное с помощью логического следования,
ложно тогда и только тогда,
когда из истинной предпосылки
(первого высказывания)
следует ложный вывод
(второе высказывание).
Таблица истинности функции логического следования
А
В
0
F= A → B
0
1
0
0
1
1
1
Сравнить F 1 = A → B и F 2 = Ā v B
F 1 = A → B и F 2 = Ā v B
А
В
0
F 1 = A → B
0
1
Ā
0
0
F 2 = Ā v B
1
1
1
Логическое равенство (эквивалентность)
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции логическое равенство
(эквивалентность)
истинно тогда и только тогда,
когда оба высказывания одновременно либо ложны,
либо истинны.
A ~ B
A тогда и только тогда, когда B
Таблица истинности функции логического равенства
А
В
0
F= A ~ B
0
1
0
0
1
1
1
F(A,B)
Количество возможных функций:
N=2 i
Если аргумента 2, то наборов возможных значений 4
N=2 4 =16
F(A,B)
Определить логические функции F n ?
Арг-ты
А
Логические функции
В
0
F 1
0
0
F 2
1
1
0
1
0
0
0
F 3
1
0
F 4
0
0
0
0
0
F 5
0
0
F 6
1
0
1
1
F 7
0
0
1
0
0
F 8
1
1
0
0
1
0
F 9
1
1
1
F 10
1
0
1
F 11
1
0
1
1
F 12
0
0
F 13
0
0
1
0
1
1
1
F 14
0
0
1
F 15
1
1
1
1
0
1
F 16
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
Доказать, что
A ~ B = ( A v B) ^ ( A v B)
Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления
А=А
Всякое высказывание тождественно самому себе
Закон непротиворечия
A ^ Ā = 0
Высказывание не может быть одновременным истинным и ложным
A v Ā = 1
Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.
Ā = A
Если дважды отрицать высказывание, то в результате получим исходное высказывание
1) _____ _ _
A v B = A ^ B
2)
_____ _ _
A ^ B = A v B
Логическое умножение
Логическое
сложение
A ^ B = B ^ A
A v B = B v A
Логическое умножение
Логическое
сложение
( A ^ B ) ^ С = A ^ (B ^ С )
(A v B) v C = A v (B v C)
Дистрибутивность умножения относительно сложения
Дистрибутивность сложения относительно умножения
ab+ac=a(b+c)
( A^B ) v(A^ С ) =A^(BvC)
( AvB ) ^ (Av С ) =Av(B^C)
_
F (A,B)= (A^B)v(A^B)
_
2) BvB = 1
_ _
(A^B)v(A^B)=A^(BvB )=A^1=A
1) (AvĀ)^B
__
2) A^(AvB)^(B^B)